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Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaGeometria Analítica
Código
ce387609
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UFAC
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
O território de um município foi representado em coordenadas cartesianas xOy, com x e y expressos em quilômetros. Suponha que um posto de saúde tenha sido construído no ponto de coordenada P(−2, 7), com a finalidade de que o posto atenda a todas as pessoas que morem a uma distância de, no máximo, 5 km do ponto mencionado.   Nessa situação hipotética, a expressão que descreve a circunferência dentro da qual moram as pessoas atendidas é
  1. A(x + 2)^2 + (y − 7)^2 = 25.
  2. B(x − 2)^2 + (y + 7)^2 = 25.
  3. C(x + 2)^2 + (y − 7)^2 = 5.
  4. D(x − 2)^2 + (y + 7)^2 = 5.
  5. E(x + 2)^2 + (y − 7)^2 = 10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — (x + 2)^2 + (y − 7)^2 = 25.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Equação da circunferência

Gabarito: letra A. A equação reduzida da circunferência com centro em C(a,b)C(a,b) e raio rr é (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Como o posto está em P(−2,7)P(-2,7) e o raio é 5 km, temos a=−2a=-2, b=7b=7 e r=5r=5, logo a equação é (x+2)2+(y−7)2=25(x+2)^2+(y-7)^2=25. As demais alternativas trocam os sinais das coordenadas do centro ou usam o raio sem elevar ao quadrado.

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância fixa (o raio) de um ponto central. Na geometria analítica, essa definição vira uma equação: se o centro é o ponto (a,b)(a,b) e o raio é rr, então um ponto (x,y)(x,y) pertence à circunferência quando a distância entre (x,y)(x,y) e (a,b)(a,b) é exatamente rr. Pela fórmula da distância entre dois pontos, isso se escreve como:

(x−a)2+(y−b)2=r\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos a forma reduzida:

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

No problema, o centro é o ponto P(−2,7)P(-2,7), então a=−2a=-2 e b=7b=7. O raio é 5 km, então r=5r=5 e r2=25r^2=25. Substituindo:

(x−(−2))2+(y−7)2=52⇒(x+2)2+(y−7)2=25(x-(-2))^2+(y-7)^2=5^2 \Rightarrow (x+2)^2+(y-7)^2=25

A pegadinha clássica é inverter os sinais: como o centro tem x=−2x=-2, o termo correto é (x+2)(x+2), e não (x−2)(x-2). Outra armadilha é esquecer de elevar o raio ao quadrado, escrevendo =5=5 em vez de =25=25. Guarde o padrão: o sinal dentro do parêntese é o oposto da coordenada do centro, e o lado direito é sempre o raio ao quadrado.

CorretasIncorretas140LEVELsoulevel.com.br
Conjuntos de alternativas — só Corretas: 1; só Incorretas: 4; Corretas∩Incorretas: 0

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a equação reduzida da circunferência com centro em (−2,7)(-2,7) e raio 5. O termo (x+2)(x+2) vem de x−(−2)x-(-2), e (y−7)(y-7) vem de y−7y-7. O lado direito é 52=255^2=25. Confere exatamente com a definição: todos os pontos a 5 km do posto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Troca os sinais das coordenadas do centro: (x−2)(x-2) e (y+7)(y+7) corresponderiam ao centro (2,−7)(2,-7), não (−2,7)(-2,7). O sinal dentro do parêntese deve ser o oposto da coordenada: para x=−2x=-2, o termo é (x+2)(x+2); para y=7y=7, o termo é (y−7)(y-7).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Acerta os sinais do centro, mas usa =5=5 em vez de =25=25. O raio é 5, mas na equação o lado direito é o quadrado do raio, ou seja, 52=255^2=25. Escrever =5=5 daria uma circunferência de raio 5\sqrt{5}, não 5.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra tanto os sinais do centro quanto o quadrado do raio. (x−2)(x-2) e (y+7)(y+7) indicariam centro (2,−7)(2,-7), e =5=5 indicaria raio 5\sqrt{5}. Nenhum dos dois corresponde aos dados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Acerta os sinais do centro, mas usa =10=10. Esse valor não é o quadrado de 5 (que é 25) nem o raio (que é 5). Não há justificativa geométrica para 10 — é um distrator numérico.

Gabarito: letra A

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