Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — CESPE / CEBRASPE 2026

Interseção de conjuntos numéricos

Gabarito: letra D. A interseção $C = A \cap B$ reúne os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Como A é formado por números reais nos intervalos $1 < x < 3$ ou $4 < x < 6$, e B é formado por números racionais no intervalo $2 \le x \le 5$, a interseção resulta nos racionais que estão em $2 \le x < 3$ ou $4 < x \le 5$ — exatamente o que a alternativa D descreve.

A questão exige dois cuidados que se combinam: a operação de interseção e a natureza dos conjuntos envolvidos (reais vs. racionais). Vamos por partes.

O que é a interseção? A interseção de dois conjuntos, denotada por $A \cap B$, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e também a B. Em termos de intervalos, a interseção de dois intervalos é a região onde eles se sobrepõem. Por exemplo, a interseção de $1 < x < 3$ com $2 \le x \le 5$ é $2 \le x < 3$: o ponto 2 está incluído porque B o inclui (e A também, pois $1 < 2 < 3$), e o ponto 3 está excluído porque A o exclui (e B também, pois $3 \le 5$). Já a interseção de $4 < x < 6$ com $2 \le x \le 5$ é $4 < x \le 5$: o ponto 4 está excluído (A o exclui) e o ponto 5 está incluído (B o inclui e A também, pois $4 < 5 < 6$).

Qual a pegadinha com os conjuntos numéricos? O conjunto A é definido sobre os reais ($\mathbb{R}$), enquanto B é definido sobre os racionais ($\mathbb{Q}$). A interseção herda a restrição mais forte: como B só contém racionais, a interseção $A \cap B$ só pode conter racionais. É por isso que a resposta correta é escrita com $x \in \mathbb{Q}$, e não com $x \in \mathbb{R}$. Alternativas que usam $\mathbb{R}$ estão erradas, mesmo que os intervalos estejam corretos, porque incluiriam números irracionais (como $\sqrt{2}$ ou $\pi$) que não pertencem a B.

Exemplo concreto: o número $2,5$ pertence a A (pois $1 < 2,5 < 3$) e a B (pois $2 \le 2,5 \le 5$), logo $2,5 \in C$. O número $\sqrt{2} \approx 1,41$ pertence a A, mas não pertence a B (não é racional), logo $\sqrt{2} \notin C$. O número $3$ não pertence a A (A exclui o 3), logo $3 \notin C$. O número $5$ pertence a A (pois $4 < 5 < 6$) e a B (pois $2 \le 5 \le 5$), logo $5 \in C$.

A distinção que importa: a diferença entre incluir ou excluir os extremos dos intervalos. Repare que os extremos 2, 3, 4 e 5 aparecem com sinais diferentes em cada conjunto: A exclui 1, 3, 4 e 6; B inclui 2 e 5. A interseção precisa respeitar ambas as definições: um extremo só entra em C se estiver incluído nos dois conjuntos. É exatamente esse detalhe que separa a alternativa correta das demais.

Guarde o critério decisivo: a interseção herda o domínio mais restritivo (racionais) e os extremos que são incluídos em ambos os conjuntos. É nele que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo $1 < x \le 2$ está errado: o ponto 2 pertence a C (pois $2 \in A$ e $2 \in B$), mas o intervalo $1 < x \le 2$ inclui também números entre 1 e 2 que não estão em B (B começa em 2). Por exemplo, $1,5$ está em A, mas não em B. O correto seria $2 \le x < 3$. Além disso, o intervalo $5 \le x \le 6$ inclui números entre 5 e 6 que não estão em B (B termina em 5), como $5,5$. O correto seria $4 < x \le 5$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $1 < x < 6$ está errado por dois motivos: (1) inclui números que não estão em B, como $1,5$ e $5,5$; (2) usa $\mathbb{R}$, mas a interseção só contém racionais. O intervalo correto seria a união de $2 \le x < 3$ com $4 < x \le 5$, restrita a $\mathbb{Q}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa repete a definição de A, mas com $\mathbb{Q}$ no lugar de $\mathbb{R}$. Ela ignora completamente a restrição de B: inclui números como $1,5$ (que não está em B) e exclui números como $2$ e $5$ (que estão em B). A interseção não é simplesmente "A com racionais"; é a sobreposição efetiva entre A e B.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A interseção de $1 < x < 3$ com $2 \le x \le 5$ é $2 \le x < 3$ (o 2 entra, o 3 não). A interseção de $4 < x < 6$ com $2 \le x \le 5$ é $4 < x \le 5$ (o 4 não entra, o 5 entra). Como B é racional, o resultado é restrito a $\mathbb{Q}$. A alternativa D descreve exatamente isso: $C = \{x \in \mathbb{Q}, 2 \le x < 3 \text{ ou } 4 < x \le 5\}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo $2 \le x \le 5$ está errado: inclui números entre 3 e 4 que não estão em A (A tem um "buraco" entre 3 e 4). Por exemplo, $3,5$ está em B, mas não em A. Além disso, usa $\mathbb{R}$, mas a interseção só contém racionais. O correto seria a união de $2 \le x < 3$ com $4 < x \le 5$, restrita a $\mathbb{Q}$.

Gabarito: letra D