Questão de Matemática — Progressão Aritmética — CESPE / CEBRASPE 2026

Sequência de quadrados e palitos

Gabarito: letra E — estão corretos os itens I e III. O número de quadrados unitários do termo $a_n$ é $n^2$ e o número de palitos é $2n(n+1)$, de modo que $a_{10}$ tem 100 quadrados e 220 palitos (item I correto), a sequência de palitos (4, 12, 24, 40, ...) não é uma progressão geométrica (item II incorreto), e a diferença entre $a_{k+1}$ e $a_k$ é exatamente $4(k+1)$ palitos (item III correto).

Vamos entender o padrão de formação. Cada termo $a_n$ é um quadrado de lado $n$ (formado por $n^2$ quadrados unitários). Para contar os palitos, observe que em um quadriculado $n \times n$ há $n+1$ linhas horizontais e $n+1$ linhas verticais de palitos, cada uma com $n$ palitos. Assim, o total de palitos é:

Conferindo com os dados do enunciado: para $n=1$, $P_1 = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$; para $n=2$, $P_2 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$; para $n=3$, $P_3 = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Bate perfeitamente.

A sequência de palitos é $(4, 12, 24, 40, 60, \ldots)$. A diferença entre termos consecutivos é $8, 12, 16, 20, \ldots$, que cresce de 4 em 4 — ou seja, os palitos formam uma progressão aritmética de segunda ordem, não uma progressão geométrica. A razão entre termos consecutivos ($12/4 = 3$, $24/12 = 2$, $40/24 \approx 1,67$) não é constante, o que derruba o item II.

A diferença entre $a_{k+1}$ e $a_k$ é:

Isso confirma o item III. A pegadinha clássica é confundir a sequência de palitos com uma PG, mas ela é uma PA de segunda ordem — as diferenças é que formam uma PA.

Item I — ✅ Correto

O quadrado $a_{10}$ tem lado 10, logo $10^2 = 100$ quadrados unitários. O número de palitos é $P_{10} = 2 \cdot 10 \cdot 11 = 220$. Portanto, o item está correto.

Item II — ❌ Incorreto

A sequência de palitos é $(4, 12, 24, 40, \ldots)$. Para ser uma PG, a razão entre termos consecutivos deveria ser constante: $12/4 = 3$, mas $24/12 = 2$, $40/24 \approx 1,67$. Como a razão não é constante, não é uma PG. O item está incorreto.

Item III — ✅ Correto

A diferença entre $a_{k+1}$ e $a_k$ é $P_{k+1} - P_k = 4(k+1)$. Isso foi demonstrado acima. O item está correto.

Conclusão: corretos os itens I e III → letra E.

Gabarito: letra E