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Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaLei dos Senos e Lei dos Cossenos
Código
ce387612
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UFAC
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
Um controlador de tráfego aéreo observa no radar que dois aviões A e B, que se aproximam de Rio Branco, estão, respectivamente, a 50 km e 80 km de distância de seu aeroporto. No radar, verifica-se que o ângulo entre as linhas de visada formadas pelos dois aviões e o aeroporto é de 60°.   A partir dessa situação, assinale a opção que corresponde à distância entre os aviões A e B.
  1. A130 km
  2. B30 km
  3. C10033 km\frac{100}{3} \sqrt{3}  km
  4. D70 km
  5. E1089km10 \sqrt{89} km
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GabaritoD — 70 km

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 70 km — alternativa D.

A ideia por trás

A Lei dos Cossenos é uma ferramenta da geometria que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com um de seus ângulos. Ela serve para descobrir um lado quando conhecemos os outros dois e o ângulo entre eles, ou para descobrir um ângulo quando conhecemos os três lados. É uma generalização do Teorema de Pitágoras, que só funciona em triângulos retângulos.

A fórmula é a² = b² + c² − 2·b·c·cos(Â), onde a é o lado oposto ao ângulo Â, e b e c são os outros dois lados. O termo −2·b·c·cos(Â) ajusta a conta para o ângulo entre os lados: se o ângulo for 90°, o cosseno é zero e a fórmula vira o Teorema de Pitágoras; se for agudo, a distância diminui; se for obtuso, aumenta. Quanto maior o ângulo entre os lados, maior o lado oposto.

Esta questão monta um triângulo com o aeroporto e os dois aviões: os lados conhecidos são as distâncias ao aeroporto (50 km e 80 km) e o ângulo entre eles é 60°. A distância entre os aviões é exatamente o lado oposto a esse ângulo, então aplicamos a Lei dos Cossenos diretamente.

O que a questão dá

  • distância do avião A ao aeroporto = 50 km

  • distância do avião B ao aeroporto = 80 km

  • ângulo entre as linhas de visada = 60°

O que queremos: a distância entre os aviões A e B

Passo 1 — Montar a Lei dos Cossenos

Temos dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, e queremos o terceiro lado. A Lei dos Cossenos é a única relação que liga exatamente esses três elementos, então é ela que devemos usar agora.

Por que esta fórmula: A fórmula a² = b² + c² − 2·b·c·cos(Â) serve para achar o lado a quando conhecemos b, c e o ângulo  entre eles. Aqui, b = 50 km, c = 80 km e  = 60°.

d2=502+802−2⋅50⋅80⋅cos⁡(60°)d^{2} = 50^{2} + 80^{2} - 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot \cos(60°)

De onde vem cada valor: dd = definição: distância entre os aviões (lado oposto ao ângulo de 60°) · 5050 = enunciado: distância do avião A ao aeroporto · 8080 = enunciado: distância do avião B ao aeroporto · 60°60° = enunciado: ângulo entre as linhas de visada

d2=502+802−2⋅50⋅80⋅cos⁡(60°)d^{2} = 50^{2} + 80^{2} - 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot \cos(60°)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o termo −2·b·c·cos(Â) e usar só 50² + 80², o que daria 130 km (alternativa A).

Passo 2 — Calcular os quadrados e o cosseno

Precisamos dos valores numéricos de cada termo para poder somar e subtrair. O cosseno de 60° é um valor conhecido, e os quadrados são contas diretas.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula nova, é só aplicar a definição: 50² = 2500, 80² = 6400, e cos(60°) = 1/2.

d2=2500+6400−2⋅50⋅80⋅12d^{2} = 2500 + 6400 - 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: 25002500 = definição: 50² · 64006400 = definição: 80² · 2⋅50⋅802 \cdot 50 \cdot 80 = passo 1: termo da fórmula original · 12\frac{1}{2} = constante: cos(60°) = 1/2

d2=2500+6400−2⋅50⋅80⋅12d^{2} = 2500 + 6400 - 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot \frac{1}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar cos(60°) = 0,866 (que é cos(30°)) em vez de 0,5.

Passo 3 — Fazer as operações

Com os valores numéricos, agora é só aritmética: somar os quadrados e subtrair o produto com o cosseno.

Por que esta fórmula: A ordem das operações: primeiro multiplicação, depois soma e subtração.

d2=8900−4000d^{2} = 8900 - 4000

De onde vem cada valor: 89008900 = passo 2: 2500 + 6400 · 40004000 = passo 2: 2 ⋅\cdot 50 ⋅\cdot 80 ⋅\cdot 12\frac{1}{2}

d2=8900−4000d^{2} = 8900 - 4000
d2=4900d^{2} = \boxed{4900}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 2·50·80 = 8000 e esquecer de multiplicar por 1/2, resultando em d² = 900 e d = 30 km (alternativa B).

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada

A Lei dos Cossenos deu o quadrado da distância; para obter a distância em si, precisamos da raiz quadrada.

Por que esta fórmula: d² = 4900, então d = √4900. Como 70² = 4900, a raiz é 70.

d=4900d = \sqrt{4900}

De onde vem cada valor: 49004900 = passo 3

d=4900=70 kmd = \sqrt{4900} = \boxed{70\ \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a raiz quadrada de 4900 é 70 e não 70,0 (mesma coisa), ou errar a raiz e dar 69 ou 71.

Resposta: 70 km — alternativa D

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