Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — CESPE / CEBRASPE 2026

Cálculo de altura da torre com trigonometria

Gabarito: letra A — a altura da torre é $5\sqrt{3} + 6{,}70$ metros. A resolução usa a tangente dos ângulos de 45° e 30° para montar um sistema com a distância horizontal desconhecida, e soma a altura dos olhos do técnico (1,70 m) ao final. A alternativa correta é a única que combina o termo com radical $5\sqrt{3}$ e a soma correta de 6,70 m.

A ideia por trás

O problema clássico de "medir altura com ângulos" se resolve com a tangente, porque ela relaciona o cateto oposto (a altura que queremos) com o cateto adjacente (a distância horizontal até a base). A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é definida como:

No ponto $P_1$, o ângulo de elevação é 45°. A tangente de 45° é 1, então a altura visada (do chão até o topo) é exatamente igual à distância horizontal do técnico até a torre. Vamos chamar essa distância de $d$. Assim, a altura da torre acima do chão é $d$.

No ponto $P_2$, o técnico andou 10 metros para trás, então a distância horizontal agora é $d + 10$. O ângulo de elevação é 30°, e a tangente de 30° é $\frac{\sqrt{3}}{3}$. A altura visada continua sendo a mesma $d$ (a torre não mudou de tamanho). Montamos a equação:

Multiplicando cruzado:

Racionalizando (multiplicando por $3 + \sqrt{3}$):

Essa é a altura da torre acima do chão. Somando a altura dos olhos do técnico (1,70 m):

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta exatamente o valor encontrado: $5\sqrt{3} + 6{,}70$ metros. O termo $5\sqrt{3}$ vem da altura acima do chão (após racionalizar a fração), e o $6{,}70$ é a soma de 5 (que também veio da racionalização) com 1,70 (altura dos olhos). A conta fecha perfeitamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B traz $5\sqrt{3} + 16{,}70$. O erro está no termo independente: 16,70 = 15 + 1,70. O candidato que erra aqui provavelmente somou 10 (a distância que o técnico andou) à altura dos olhos, em vez de somar apenas 1,70. O 10 já foi usado na equação para encontrar $d$; não deve ser somado novamente no final.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C traz $10\sqrt{2} + 11{,}70$. O erro está no radical: $\sqrt{2}$ aparece quando se usa o ângulo de 45° com a relação $1:1:\sqrt{2}$ do triângulo retângulo isósceles. Mas aqui o 45° só serve para dizer que a altura é igual à distância ($\tan 45° = 1$); o $\sqrt{2}$ não entra na conta. O termo 11,70 = 10 + 1,70 também repete o erro de somar a distância percorrida.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D traz apenas 11,70 metros. Esse valor ignora completamente o termo com radical $5\sqrt{3}$, que é a parte principal da altura. O candidato que marca esta opção provavelmente esqueceu de resolver a equação com a tangente de 30° e apenas somou 10 + 1,70, sem considerar a altura real da torre.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E traz $20\sqrt{3} + 31{,}70$. O erro está no coeficiente do radical: 20 em vez de 5. Isso acontece se o candidato não racionalizar a fração corretamente ou se confundir na manipulação algébrica. O termo 31,70 = 30 + 1,70 também indica erro na soma final.

Gabarito: letra A