Questão de Matemática — Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular — CESPE / CEBRASPE 2026

Área do círculo: tangente e triângulo retângulo

Gabarito: letra B — a área coberta pela antena é 64π km². A chave está em perceber que o raio da circunferência é um dos catetos de um triângulo retângulo formado pelo centro da circunferência, o ponto de tangência T e o ponto P na estrada, e que a distância de P ao centro é a hipotenusa. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos o raio r = 8 km, e a área do círculo é πr² = 64π km².

A questão explora a relação entre uma reta tangente a uma circunferência e o raio que toca o ponto de tangência. O fato central é que o raio traçado até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. Isso significa que o triângulo formado pelo centro O da circunferência, o ponto de tangência T e o ponto P (na estrada) é um triângulo retângulo, com o ângulo reto em T.

Vamos identificar os elementos: a distância de P até a base da antena (que é o centro O da circunferência) é a hipotenusa do triângulo, medindo 17 km. A distância de P até o ponto de tangência T é um dos catetos, medindo 15 km. O outro cateto é exatamente o raio r da circunferência, que é a distância do centro O até o ponto de tangência T.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

Substituindo os valores conhecidos:

Com o raio em mãos, calculamos a área do círculo, que representa a área de alcance da antena:

A pegadinha da banca está em não perceber que a distância de 17 km é a hipotenusa, e não um cateto. O candidato que usa 17 e 15 como catetos encontraria uma hipotenusa de $\sqrt{514}$, e a área seria $514\pi$, que é a alternativa D. A distinção crucial é identificar corretamente qual lado do triângulo é a hipotenusa: ela é sempre o lado oposto ao ângulo reto, que neste caso é o segmento que liga o ponto P ao centro da circunferência.

Guarde essa relação: reta tangente + raio = triângulo retângulo. É exatamente nela que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 4π km² corresponderia a um raio de 2 km (pois π·2² = 4π). Esse número não tem relação com os dados do problema. Ele poderia surgir de um erro de cálculo, como considerar que a diferença entre 17 e 15 é o raio (17 − 15 = 2), o que é um equívoco, pois a relação entre os lados do triângulo retângulo não é uma simples subtração.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o raio da circunferência é 8 km. A área do círculo é calculada pela fórmula $A = \pi r^2$, resultando em $A = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ km². Este é o valor que representa corretamente a área de alcance da antena.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 255π km² não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Ele poderia surgir de um erro como multiplicar 17 por 15 (17 × 15 = 255), tratando as distâncias como se fossem lados de um retângulo, o que não se aplica a este problema de circunferência e tangente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 514π km² é um distrator clássico. Ele surge quando o candidato trata 17 e 15 como os catetos de um triângulo retângulo e calcula a hipotenusa: $\sqrt{17^2 + 15^2} = \sqrt{289 + 225} = \sqrt{514}$. Em seguida, usa esse valor como se fosse o raio, obtendo área $514\pi$. O erro está em inverter os papéis: 17 km é a hipotenusa, não um cateto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 1.024π km² corresponderia a um raio de 32 km (pois π·32² = 1024π). Esse número não tem relação com os dados. Poderia surgir de um erro como calcular $17^2 - 15^2 = 64$ e depois, em vez de tirar a raiz quadrada, elevar ao quadrado novamente ($64^2 = 4096$), ou de outra manipulação incorreta.

Gabarito: letra B