Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2026

Volume do cone circular reto

Gabarito: letra D. A área lateral do cone é $A_l = \pi r g$ e a área da base é $A_b = \pi r^2$. Como a área lateral é o triplo da área da base, temos $\pi r g = 3\pi r^2$, o que nos dá $g = 3r$. Pelo Teorema de Pitágoras, $g^2 = r^2 + h^2$, logo $h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{9r^2 - r^2} = 2r\sqrt{2}$. O volume é $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 (2r\sqrt{2}) = \frac{2\pi r^3 \sqrt{2}}{3}$.

O cone circular reto é um sólido de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Seus elementos principais são o raio da base ($r$), a altura ($h$) e a geratriz ($g$), que se relacionam pelo Teorema de Pitágoras: $g^2 = r^2 + h^2$. A área lateral de um cone reto é a área do setor circular obtido ao planificar sua superfície lateral, e é dada por $A_l = \pi r g$. A área da base é a área do círculo, $A_b = \pi r^2$. O volume é um terço do produto da área da base pela altura: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

A questão fornece uma relação entre a área lateral e a área da base: $A_l = 3 A_b$. Substituindo as fórmulas, obtemos $\pi r g = 3 \pi r^2$, e como $r > 0$, simplificamos para $g = 3r$. Isso significa que a geratriz é o triplo do raio. Com essa relação, podemos encontrar a altura usando o Teorema de Pitágoras: $h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{(3r)^2 - r^2} = \sqrt{9r^2 - r^2} = \sqrt{8r^2} = 2r\sqrt{2}$.

Agora, com a altura em função do raio, calculamos o volume: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r\sqrt{2}) = \frac{2\pi r^3 \sqrt{2}}{3}$. Essa é a expressão que aparece na alternativa D.

A pegadinha desta questão está em não perceber que a relação entre as áreas permite encontrar a geratriz, e que a altura deve ser obtida pelo Teorema de Pitágoras, não diretamente da relação entre as áreas. Muitos candidatos podem tentar usar a relação $A_l = 3A_b$ para encontrar a altura diretamente, o que não é possível, pois a área lateral depende da geratriz, não da altura.

Guarde o passo a passo: (1) escreva as fórmulas de área lateral e da base; (2) use a relação dada para encontrar a geratriz; (3) use o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura; (4) substitua na fórmula do volume. É exatamente essa sequência que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $2\pi r^3 \sqrt{2}$ corresponde ao volume sem o fator $\frac{1}{3}$. O candidato que esquece que o volume do cone é um terço do produto da área da base pela altura chega a esse resultado. A fórmula correta do volume do cone é $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, e o fator $\frac{1}{3}$ é essencial.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $2\pi r^3$ não contém o fator $\sqrt{2}$ que aparece na altura. Isso indica que o candidato pode ter encontrado a altura como $h = 2r$ em vez de $h = 2r\sqrt{2}$, ou pode ter usado uma relação incorreta entre as áreas. A altura correta, obtida pelo Teorema de Pitágoras com $g = 3r$, é $h = 2r\sqrt{2}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{3\pi r^3}{2}$ não corresponde a nenhum resultado intermediário correto. O candidato pode ter confundido a relação entre as áreas, usando $A_l = 3A_b$ de forma incorreta, ou pode ter errado o cálculo da altura. A altura correta é $h = 2r\sqrt{2}$, e o volume é $\frac{2\pi r^3 \sqrt{2}}{3}$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $\frac{2\pi r^3 \sqrt{2}}{3}$ é exatamente o volume calculado: com $g = 3r$ e $h = 2r\sqrt{2}$, temos $V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 2r\sqrt{2} = \frac{2\pi r^3 \sqrt{2}}{3}$. Esta alternativa reflete corretamente todos os passos da resolução.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{2\pi r^3}{3}$ corresponde ao volume de um cone com altura $h = 2r$, que seria o caso de um cone onde a geratriz é $g = r\sqrt{5}$ (pois $h^2 = g^2 - r^2 = 5r^2 - r^2 = 4r^2$). No entanto, a relação dada no enunciado ($A_l = 3A_b$) impõe $g = 3r$, o que leva a $h = 2r\sqrt{2}$, não $h = 2r$. Portanto, esta alternativa usa uma altura incorreta.

Gabarito: letra D