Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2026

Análise Combinatória: contagem de composições de grupos

Gabarito: CERTO. O número total de formas distintas de se definirem as quantidades de membros de cada bancada que podem compor o grupo de trabalho técnico é, de fato, 165. Isso porque o problema pede apenas as combinações de quantidades (quantos membros de cada bancada), e não as combinações de deputados específicos — e o número de soluções inteiras não negativas da equação $x + y + z \le 11$, com $x, y, z \ge 1$, é 165.

O enunciado descreve um grupo de trabalho com, no mínimo, 1 membro de cada bancada (governamental, independente e oposição) e, no máximo, 11 membros no total. A pergunta é: de quantas formas distintas podemos definir as quantidades de membros de cada bancada? Repare que a questão não pergunta de quantas maneiras podemos escolher os deputados (o que envolveria combinações $C_{n,k}$), mas sim de quantas maneiras podemos distribuir os números de membros entre as três bancadas. É uma distinção crucial: aqui, os deputados são tratados como indistinguíveis dentro de cada bancada — o que importa é apenas quantos vêm de cada uma.

Vamos modelar o problema. Sejam:

• $x$ = número de membros da bancada governamental;

• $y$ = número de membros da bancada independente;

• $z$ = número de membros da bancada de oposição.

As condições são:

• $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ (pelo menos um de cada bancada);

• $x + y + z \le 11$ (no máximo 11 membros).

Para resolver, fazemos uma substituição de variáveis para eliminar a restrição "pelo menos 1": definimos $x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$, com $x', y', z' \ge 0$. A inequação vira:

Agora, o número de soluções inteiras não negativas de $x' + y' + z' \le 8$ é o mesmo que o número de soluções inteiras não negativas da equação $x' + y' + z' + w = 8$, onde $w \ge 0$ é uma variável de folga que absorve a diferença entre a soma e 8. Pela fórmula de combinações com repetição (ou método dos separadores), o número de soluções é:

Portanto, há exatamente 165 formas distintas de definir as quantidades de membros de cada bancada, o que confirma a afirmação do item.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é o candidato tentar resolver contando as combinações de deputados específicos (usando os números 4, 5, 8, 5, 4, 6 da tabela), o que levaria a um número gigantesco e completamente diferente. A banca quer que você perceba que a pergunta é sobre quantidades, não sobre pessoas. Outra armadilha é esquecer a restrição "pelo menos um de cada bancada" e contar as soluções de $x + y + z \le 11$ com $x, y, z \ge 0$, o que daria $C_{14}^{3} = 364$ — um número que não bate com o gabarito.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. O número de formas de definir as quantidades de membros de cada bancada é dado pelo número de soluções inteiras da inequação $x + y + z \le 11$ com $x, y, z \ge 1$, que, após a substituição $x' = x-1$, $y' = y-1$, $z' = z-1$, equivale a $x' + y' + z' \le 8$. Introduzindo a variável de folga $w$, temos $x' + y' + z' + w = 8$, cujo número de soluções não negativas é $C_{8+4-1}^{4-1} = C_{11}^{3} = 165$. Portanto, o item está CERTO.

Gabarito: CERTO