Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — CESPE / CEBRASPE 2026

Trapézio isósceles: perímetro, razão das bases e área

Gabarito: letra C (CERTO). A área do trapézio isósceles é de fato $450\sqrt{3}\,\text{m}^2$. O caminho: com perímetro 120 m, bases na razão 3:1 e lados oblíquos iguais ao dobro da base menor, encontramos base menor = 20 m, base maior = 60 m e lados oblíquos = 40 m; a altura, obtida pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela projeção do lado oblíquo, vale $10\sqrt{3}\,\text{m}$; aplicando a fórmula da área do trapézio $A = \frac{(B+b)\cdot h}{2}$, chegamos exatamente a $450\sqrt{3}\,\text{m}^2$.

O problema combina dois conteúdos de geometria plana: as propriedades do trapézio isósceles e o cálculo de sua área. Um trapézio isósceles é um quadrilátero com um par de lados paralelos (as bases) e os dois lados não paralelos (oblíquos) congruentes. Essa simetria é a chave: ao traçar as alturas a partir dos vértices da base menor, o trapézio fica decomposto em um retângulo central e dois triângulos retângulos congruentes nas laterais. É nesses triângulos que aplicamos o teorema de Pitágoras para descobrir a altura, que é o dado que falta para calcular a área.

Vamos organizar os dados do enunciado. Seja $b$ a base menor. A base maior $B$ está na razão 3:1 em relação à menor, então $B = 3b$. Os lados oblíquos são iguais ao dobro da base menor, ou seja, cada um mede $2b$. O perímetro é a soma dos quatro lados: $P = B + b + 2b + 2b = 3b + b + 4b = 8b$. Como o perímetro é 120 m, temos $8b = 120$, logo $b = 15\,\text{m}$. Portanto: base menor = 15 m, base maior = 45 m e cada lado oblíquo = 30 m.

Agora, para achar a altura, observamos o triângulo retângulo formado pela altura, pelo lado oblíquo e pela projeção da base maior que "sobra" além da base menor. Como o trapézio é isósceles, essa projeção é a metade da diferença entre as bases: $\frac{B - b}{2} = \frac{45 - 15}{2} = 15\,\text{m}$. Pelo teorema de Pitágoras: $h^2 + 15^2 = 30^2$, então $h^2 = 900 - 225 = 675$, logo $h = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}\,\text{m}$.

Com a altura em mãos, aplicamos a fórmula da área do trapézio: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \frac{(45 + 15) \cdot 15\sqrt{3}}{2} = \frac{60 \cdot 15\sqrt{3}}{2} = 30 \cdot 15\sqrt{3} = 450\sqrt{3}\,\text{m}^2$. O resultado confere exatamente com o valor do enunciado, então o item está certo.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é errar a razão entre as bases: o candidato pode inverter e considerar a base maior como $b$ e a menor como $3b$, o que levaria a um perímetro diferente e, consequentemente, a uma área errada. Outra armadilha é esquecer que os lados oblíquos são o dobro da base menor, tratando o trapézio como se tivesse lados iguais às bases. A simetria do trapézio isósceles, que permite dividir a diferença das bases por 2 para achar a projeção, também é um ponto que costuma ser negligenciado.

Guarde o roteiro: (1) monte a equação do perímetro com todas as medidas em função da base menor; (2) use a simetria do trapézio isósceles para achar a projeção da base maior; (3) aplique Pitágoras para obter a altura; (4) substitua na fórmula da área. É exatamente esse fluxo que separa o acerto do erro nesta questão.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A resolução completa:

1. Perímetro: $P = B + b + 2b + 2b = 3b + b + 4b = 8b = 120 \Rightarrow b = 15\,\text{m}$.

2. Bases: base menor $b = 15\,\text{m}$; base maior $B = 3b = 45\,\text{m}$.

3. Lados oblíquos: cada um mede $2b = 30\,\text{m}$.

4. Projeção da base maior: $\frac{B - b}{2} = \frac{45 - 15}{2} = 15\,\text{m}$.

5. Altura (Pitágoras): $h = \sqrt{30^2 - 15^2} = \sqrt{900 - 225} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}\,\text{m}$.

6. Área: $A = \frac{(B+b)\cdot h}{2} = \frac{(45+15)\cdot 15\sqrt{3}}{2} = \frac{60 \cdot 15\sqrt{3}}{2} = 450\sqrt{3}\,\text{m}^2$.

O valor bate com o enunciado, portanto o item é certo.

Gabarito: letra C (CERTO).