Critério de divisibilidade por 11
Gabarito: letra E (ERRADO). O critério de divisibilidade por 11 não depende da ordem em que se escolhe o minuendo e o subtraendo, pois a divisibilidade por 11 é verificada pelo valor absoluto da diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e par. Como o módulo de um número e de seu oposto são iguais, a ordem da subtração não altera o resultado da análise.
O critério de divisibilidade por 11 é um dos mais interessantes da aritmética, pois, ao contrário dos critérios por 2, 3, 5, 9 e 10, ele não se baseia em uma simples soma ou no último algarismo, mas sim em uma diferença entre somas alternadas. Para entender por que a ordem da subtração não importa, é preciso compreender a estrutura do critério e o papel do valor absoluto.
O critério estabelece que um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par é divisível por 11. A demonstração clássica, feita para um número de 4 algarismos (abcd), mostra que o número pode ser decomposto como (1001a + 99b + 11c) + (d + b) − (a + c). Como 1001, 99 e 11 são múltiplos de 11, a divisibilidade do número original por 11 depende exclusivamente da expressão (d + b) − (a + c), que é exatamente a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar (d + b) e a soma dos algarismos de ordem par (a + c).
A chave da questão está no conceito de valor absoluto (módulo). Quando o pai pede para calcular a diferença entre as somas, ele não especifica qual soma deve ser o minuendo e qual deve ser o subtraendo. No entanto, o critério de divisibilidade por 11 é formulado em termos do valor absoluto dessa diferença. Isso significa que, se a diferença for, por exemplo, 11 ou −11, em ambos os casos o valor absoluto é 11, que é divisível por 11. Portanto, a ordem da subtração é irrelevante: o resultado pode mudar de sinal, mas o valor absoluto permanece o mesmo, e é esse valor absoluto que determina a divisibilidade.
Para fixar, considere o número 1.234. A soma dos algarismos de posição ímpar (1ª e 3ª posições) é 1 + 3 = 4. A soma dos algarismos de posição par (2ª e 4ª posições) é 2 + 4 = 6. Se calcularmos 4 − 6, obtemos −2; se calcularmos 6 − 4, obtemos 2. Em ambos os casos, o valor absoluto é 2, que não é divisível por 11, então 1.234 não é divisível por 11. Agora, tome o número 1.331. A soma dos algarismos de posição ímpar é 1 + 3 = 4, e a soma dos algarismos de posição par é 3 + 1 = 4. A diferença é 0 (ou 0, se invertida), e 0 é divisível por 11, então 1.331 é divisível por 11. Em ambos os exemplos, a ordem da subtração não altera a conclusão.
A pegadinha que a banca explora aqui é a tentação de pensar que, como a subtração não é comutativa (a − b ≠ b − a em geral), a ordem poderia afetar o resultado. No entanto, o critério de divisibilidade por 11 não exige que a diferença seja positiva; ele exige que a diferença, em valor absoluto, seja divisível por 11. Como |a − b| = |b − a|, a ordem é indiferente. Essa é uma distinção sutil, mas crucial, entre o critério de divisibilidade por 11 e outros critérios que dependem de uma operação específica.
Guarde esta fronteira: o que decide a divisibilidade por 11 é o valor absoluto da diferença entre as somas alternadas, não o sinal dessa diferença. É exatamente nesse ponto que a afirmação do enunciado se mostra incorreta.
Caso | Diferença (ímpar − par) | Diferença (par − ímpar) | Valor absoluto | Divisível por 11? | Decisão |
|---|
1 | 4 − 6 = −2 | 6 − 4 = 2 | 2 | Não | Não divisível (ambas as ordens) |
2 | 4 − 4 = 0 | 4 − 4 = 0 | 0 | Sim | Divisível (ambas as ordens) |
3 | 11 − 0 = 11 | 0 − 11 = −11 | 11 | Sim | Divisível (ambas as ordens) |
4 | 5 − 16 = −11 | 16 − 5 = 11 | 11 | Sim | Divisível (ambas as ordens) |
Item — ❌ ERRADO
A afirmação de que o critério "poderá resultar em decisões distintas conforme a ordem em que o filho escolher o minuendo e o subtraendo" é falsa. O critério de divisibilidade por 11 é definido pela diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e par, mas a verificação da divisibilidade por 11 depende do valor absoluto dessa diferença. Como o valor absoluto de um número é igual ao valor absoluto do seu oposto (|x| = |−x|), a ordem da subtração não altera o resultado da análise. Se a diferença for divisível por 11 em uma ordem, também será na ordem inversa, pois o que muda é apenas o sinal, não o valor absoluto. Portanto, o critério ensinado pelo pai é consistente e não produz decisões distintas conforme a ordem escolhida.
Gabarito: letra E (ERRADO).