Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2026

Análise Combinatória: permutação de elementos distintos

Gabarito: ERRADO. O número de maneiras de embaralhar os 12 números obtidos no Passo 2 é 12! (doze fatorial), e não 11!. A afirmação de que seria 11! confunde a permutação simples de 12 elementos com a permutação circular de 12 elementos, que é (12−1)! = 11!. Como o embaralhamento é uma ordenação linear (uma fila), a contagem correta é 12!.

O problema descreve um procedimento em que, a partir de um número inteiro escolhido, somamos 11 sucessivamente por 11 vezes, obtendo 12 números. Esses 12 números formam uma progressão aritmética de razão 11, mas isso não altera a contagem do embaralhamento: o que importa é que temos 12 números distintos (pois a razão é 11 ≠ 0) e queremos contar de quantas maneiras podemos ordená-los.

Em Análise Combinatória, quando temos $n$ elementos distintos e queremos formar uma sequência (uma fila, uma ordem) com todos eles, usamos a permutação simples: $P_n = n!$. O raciocínio vem do Princípio Fundamental da Contagem: para a primeira posição temos $n$ escolhas; para a segunda, $n-1$; e assim por diante, até a última posição, que terá apenas 1 escolha. Multiplicando tudo, obtemos $n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 = n!$.

Aplicando ao caso: temos 12 números distintos. O número de maneiras de embaralhá-los (isto é, de colocá-los em uma ordem qualquer) é:

O valor 11! = 39.916.800 seria o número de permutações circulares de 12 elementos, ou seja, o número de maneiras de dispor 12 pessoas ao redor de uma mesa circular, onde não há uma posição inicial fixa. Nesse caso, a fórmula é $PC_n = (n-1)!$. Mas o enunciado fala em "embaralhar" os números, o que claramente se refere a uma ordem linear (uma sequência), não a uma disposição circular. Portanto, a permutação correta é a simples, 12!.

A pegadinha da banca está exatamente em oferecer 11! como resposta, tentando induzir o candidato a aplicar a fórmula da permutação circular sem perceber que o contexto é de uma fila (ordem linear). O termo "embaralhar" pode até sugerir algo aleatório, mas matematicamente significa apenas "ordenar de todas as maneiras possíveis", o que é a definição de permutação simples.

Para fixar: sempre que o problema pedir o número de maneiras de ordenar $n$ elementos distintos em uma sequência (fila, lista, senha, anagrama), use $n!$. A permutação circular, $(n-1)!$, só se aplica quando os elementos estão dispostos em um círculo, sem posição inicial definida.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que o número de maneiras de embaralhar os 12 números é 11! está incorreta. O correto é 12!, pois temos 12 elementos distintos e o embaralhamento é uma ordenação linear. O valor 11! corresponderia à permutação circular de 12 elementos, o que não se aplica ao caso.

Gabarito: ERRADO