Questão de Matemática — Função Inversa — CESPE / CEBRASPE 2026

Função inversa: encontrando f(x) a partir de f⁻¹(x)

Gabarito: letra E. Para encontrar a função original a partir de sua inversa, basta aplicar o procedimento de inversão na própria inversa: trocar as variáveis e isolar a nova variável dependente. Aplicando isso a $f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 3$, obtemos $f(x) = 4x - 12$.

O conceito central aqui é o de função inversa. Uma função $f: A \to B$ é inversível se, e somente se, for bijetora (injetora e sobrejetora). A função inversa, denotada $f^{-1}$, "desfaz" o que a função original faz: se $f(a) = b$, então $f^{-1}(b) = a$. Uma propriedade fundamental é que a composição de uma função com sua inversa resulta na função identidade: $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x$.

O método para encontrar a inversa de uma função $y = f(x)$ é sempre o mesmo:

1. Trocar as variáveis: escrever $x$ no lugar de $y$ e $y$ no lugar de $x$.

2. Isolar a nova variável $y$ na equação.

Nesta questão, temos a função inversa $f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 3$. Para encontrar $f(x)$, aplicamos o método de inversão à própria $f^{-1}(x)$. Vamos chamar $y = f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 3$. Agora, trocamos as variáveis:

$x = \frac{y}{4} + 3$

Em seguida, isolamos $y$:

$x - 3 = \frac{y}{4}$

$4 \cdot (x - 3) = y$

$y = 4x - 12$

Portanto, a função original é $f(x) = 4x - 12$.

Uma forma de verificar se a resposta está correta é usar a propriedade da composição: $f(f^{-1}(x))$ deve ser igual a $x$. Testando com a alternativa E:

$f(f^{-1}(x)) = 4 \cdot \left(\frac{x}{4} + 3\right) - 12 = x + 12 - 12 = x$. ✅

A pegadinha desta questão é que muitos alunos tentam encontrar a inversa de $f^{-1}(x)$ usando um atalho incorreto, como simplesmente inverter os coeficientes ou as operações de forma errada, sem seguir o método formal de troca de variáveis e isolamento. O método passo a passo é infalível e evita esses erros.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$f(x) = \frac{x}{3} + 4$ não é a inversa correta. Este distrator provavelmente surge de uma inversão incorreta dos coeficientes: o aluno pode ter trocado o denominador 4 pelo 3 e o termo constante 3 pelo 4, sem realizar o procedimento algébrico correto. Aplicando o método correto, o denominador 4 passa multiplicando e o termo +3 passa subtraindo, resultando em $4x - 12$, não $\frac{x}{3} + 4$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$f(x) = \frac{4}{x} + \frac{1}{3}$ não é a inversa correta. Esta alternativa parece inverter a operação de divisão, transformando-a em uma fração com a variável no denominador, o que não corresponde ao método de inversão. A função dada é uma função afim (do 1º grau), e sua inversa também será uma função afim, não uma função racional como esta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$f(x) = \frac{4}{x+12}$ não é a inversa correta. Assim como a alternativa B, esta opção transforma a função em uma função racional, o que não é o caso. O erro aqui pode vir de uma tentativa de "inverter" a operação de soma transformando-a em uma expressão no denominador, o que é um equívoco conceitual.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$f(x) = -\frac{x}{4} - 3$ não é a inversa correta. Esta alternativa inverte os sinais dos coeficientes, mas não realiza a inversão correta. O erro aqui é trocar o sinal de todos os termos, o que não é o procedimento para encontrar a função inversa. O método correto envolve trocar as variáveis e isolar, não simplesmente multiplicar por -1.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$f(x) = 4x - 12$ é a inversa correta. Como demonstrado, ao aplicar o método de inversão (trocar $x$ e $y$ e isolar $y$) na função $f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 3$, obtemos exatamente $f(x) = 4x - 12$. A verificação pela composição confirma: $f(f^{-1}(x)) = 4 \cdot \left(\frac{x}{4} + 3\right) - 12 = x$.

Gabarito: letra E