Questão de Matemática — Função Composta — CESPE / CEBRASPE 2026

Função Composta e Logaritmos

Gabarito: letra C. A composição $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \log_2(g(x) + 4) = 4x$ exige que o argumento do logaritmo seja $2^{4x}$, logo $g(x) + 4 = 2^{4x} = 16^x$ e, portanto, $g(x) = 16^x - 4$.

A questão trabalha com dois conceitos centrais: função composta e logaritmo. A função composta $(f \circ g)(x)$ significa aplicar primeiro a função $g$ e, em seguida, a função $f$ sobre o resultado. Em outras palavras, $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. No caso, temos $f(x) = \log_2(x + 4)$, então $f(g(x)) = \log_2(g(x) + 4)$. O enunciado nos diz que essa composição é igual a $4x$, ou seja, $\log_2(g(x) + 4) = 4x$.

Para encontrar $g(x)$, precisamos "desfazer" o logaritmo. A definição de logaritmo nos diz que, se $\log_b(a) = c$, então $b^c = a$. Aplicando isso à nossa equação, temos que $\log_2(g(x) + 4) = 4x$ implica que $2^{4x} = g(x) + 4$. Agora, basta isolar $g(x)$: $g(x) = 2^{4x} - 4$. Como $2^{4x} = (2^4)^x = 16^x$, a expressão final é $g(x) = 16^x - 4$.

Um erro comum é inverter a ordem da composição, calculando $(g \circ f)(x)$ em vez de $(f \circ g)(x)$. Outro erro frequente é esquecer de subtrair o 4 após aplicar a exponencial, ou confundir as propriedades de potência, como $2^{4x}$ com $2 \cdot 4^x$. A chave é lembrar que a composição $f \circ g$ aplica $g$ primeiro e depois $f$, e que a operação inversa do logaritmo é a exponenciação.

Para fixar, vamos ver um exemplo numérico: se $x = 1$, então $(f \circ g)(1) = 4 \cdot 1 = 4$. Pela nossa resposta, $g(1) = 16^1 - 4 = 12$. Então $f(g(1)) = f(12) = \log_2(12 + 4) = \log_2(16) = 4$. O resultado confere! Isso valida que a expressão encontrada está correta.

Agora, vamos analisar cada alternativa, verificando se a composição $f(g(x))$ resulta em $4x$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$g(x) = 2 + \log_2(x + 4)$. Aqui, $f(g(x)) = \log_2(2 + \log_2(x + 4) + 4) = \log_2(6 + \log_2(x + 4))$, que não é igual a $4x$. Esta alternativa confunde a composição com uma soma de funções, ou aplica o logaritmo de forma incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$g(x) = 2x + 8$. Então $f(g(x)) = \log_2(2x + 8 + 4) = \log_2(2x + 12)$, que não é igual a $4x$. O erro aqui é tratar o logaritmo como uma função linear, ignorando que a operação inversa é a exponencial.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$g(x) = 16^x - 4$. Como demonstrado, $f(g(x)) = \log_2(16^x - 4 + 4) = \log_2(16^x) = \log_2((2^4)^x) = \log_2(2^{4x}) = 4x$. Esta é a única alternativa que satisfaz a condição dada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$g(x) = \frac{16^x}{4}$. Então $f(g(x)) = \log_2\left(\frac{16^x}{4} + 4\right)$, que não é igual a $4x$. Esta alternativa erra ao dividir por 4 em vez de subtrair 4, confundindo a operação necessária para isolar $g(x)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$g(x) = 64 \cdot 2x = 128x$. Então $f(g(x)) = \log_2(128x + 4)$, que não é igual a $4x$. Esta alternativa parece aplicar a propriedade de potência de forma incorreta, tratando $2^{4x}$ como um produto.

A regra de ouro para questões de função composta com logaritmos é: aplique a definição de logaritmo para "desfazer" a função externa e isolar a função interna. Lembre-se de que $\log_b(a) = c \iff b^c = a$.

Gabarito: letra C