Questão de Matemática — Definição, Interpretação Gráfica, Injetora/Sobrejetora/Bijetora, Produto Cartesiano — CESPE / CEBRASPE 2026

Funções: paridade e injetividade

Gabarito: letra C. A função $f(x) = -x^3 + 4x$ é ímpar (pois $f(-x) = -f(x)$) e não injetiva (pois existem valores distintos de $x$ com a mesma imagem, como $f(0) = f(2) = 0$). A alternativa C é a única que combina corretamente essas duas propriedades.

O que é uma função par e uma função ímpar?

Uma função é par quando, para todo $x$ do domínio, $f(-x) = f(x)$. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$: o ponto $(x, y)$ e o ponto $(-x, y)$ pertencem ao gráfico. Para uma função polinomial, isso ocorre quando todos os expoentes de $x$ são pares.

Uma função é ímpar quando, para todo $x$ do domínio, $f(-x) = -f(x)$. O gráfico é simétrico em relação à origem: o ponto $(x, y)$ e o ponto $(-x, -y)$ pertencem ao gráfico. Para uma função polinomial, isso ocorre quando todos os expoentes de $x$ são ímpares.

No caso de $f(x) = -x^3 + 4x$, os expoentes são 3 e 1, ambos ímpares. Logo, a função é ímpar. Vamos confirmar algebricamente:

$f(-x) = -(-x)^3 + 4(-x) = -(-x^3) - 4x = x^3 - 4x = -(-x^3 + 4x) = -f(x)$.

Portanto, $f(-x) = -f(x)$, confirmando a paridade ímpar.

O que é uma função injetora?

Uma função é injetora (ou injetiva) quando elementos distintos do domínio possuem imagens distintas. Em outras palavras, se $x_1 \neq x_2$, então $f(x_1) \neq f(x_2)$. Graficamente, isso significa que qualquer reta horizontal traçada no gráfico corta a curva em no máximo um ponto.

Para verificar se $f(x) = -x^3 + 4x$ é injetora, podemos procurar dois valores distintos de $x$ que tenham a mesma imagem. Observe que:

$f(0) = -0^3 + 4 \cdot 0 = 0$

$f(2) = -2^3 + 4 \cdot 2 = -8 + 8 = 0$

Como $f(0) = f(2) = 0$ com $0 \neq 2$, a função não é injetora.

Por que não é sobrejetora?

Uma função é sobrejetora quando o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Para $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, a função é sobrejetora se todo número real é imagem de algum $x$. No caso de $f(x) = -x^3 + 4x$, como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder negativo, o limite quando $x \to +\infty$ é $-\infty$ e quando $x \to -\infty$ é $+\infty$. Portanto, a função assume todos os valores reais, sendo sobrejetora.

Por que não é bijetora?

Uma função é bijetora quando é simultaneamente injetora e sobrejetora. Como $f$ não é injetora, ela não pode ser bijetora, mesmo sendo sobrejetora.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a função é par e não bijetiva. A função é ímpar, não par. Para ser par, todos os expoentes de $x$ deveriam ser pares, mas aqui temos expoentes 3 e 1, ambos ímpares. Portanto, a primeira parte está errada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a função é par e não injetiva. Novamente, a função é ímpar, não par. A segunda parte (não injetiva) está correta, mas a primeira está errada.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a função é ímpar e não injetiva. Como demonstrado, $f(-x) = -f(x)$ (ímpar) e $f(0) = f(2) = 0$ (não injetiva). Esta é a única alternativa que combina corretamente as duas propriedades.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a função é ímpar e bijetiva. A função é ímpar, mas não é bijetiva, pois não é injetora. Para ser bijetora, precisaria ser injetora e sobrejetora, mas falha na injetividade.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a função é par e sobrejetiva. A função é ímpar, não par. Embora seja sobrejetiva, a primeira parte está errada.

Gabarito: letra C