GabaritoD — -1,1 e 6
Gabarito: letra D. Os coeficientes são a = −1, b = 1 e c = 6. Isso porque, conhecidas as raízes x = −2 e x = 3, a função pode ser escrita na forma fatorada f(x) = a(x + 2)(x − 3); usando o ponto P(−1, 4), obtém-se a = −1, e a expansão da forma fatorada fornece b = 1 e c = 6.
A função do segundo grau, também chamada de função quadrática, é toda função da forma f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola, e os valores de x que tornam f(x) = 0 são chamados de raízes ou zeros da função. Quando conhecemos as raízes x₁ e x₂, podemos reescrever a função em sua forma fatorada: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Essa forma é extremamente útil porque já carrega a informação das raízes, restando apenas descobrir o coeficiente a, que controla a abertura e a concavidade da parábola.
No problema, as raízes são x₁ = −2 e x₂ = 3. Substituindo na forma fatorada, temos f(x) = a(x − (−2))(x − 3) = a(x + 2)(x − 3). Para encontrar o valor de a, usamos o ponto P(−1, 4), que pertence ao gráfico, ou seja, f(−1) = 4. Substituindo x = −1 na expressão, obtemos 4 = a(−1 + 2)(−1 − 3) = a(1)(−4) = −4a. Logo, a = −1. Agora, com a = −1, expandimos a forma fatorada: f(x) = −1(x + 2)(x − 3) = −(x² − 3x + 2x − 6) = −(x² − x − 6) = −x² + x + 6. Comparando com a forma geral f(x) = ax² + bx + c, identificamos b = 1 e c = 6.
Uma forma alternativa e mais rápida de resolver é usar as relações de Girard, que conectam as raízes aos coeficientes. Para a equação ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é S = x₁ + x₂ = −b/a e o produto é P = x₁ · x₂ = c/a. Com as raízes −2 e 3, temos S = 1 e P = −6. Assim, −b/a = 1 e c/a = −6. Como já sabemos que a = −1 (encontrado pelo ponto), obtemos b = 1 e c = 6, confirmando o resultado. Essa dupla abordagem mostra que a forma fatorada e as relações de Girard são ferramentas equivalentes e poderosas para problemas desse tipo.
A pegadinha clássica da banca nesse tema é inverter o sinal ao montar a forma fatorada. Como as raízes são −2 e 3, os fatores são (x + 2) e (x − 3), e não (x − 2) e (x + 3). Outro erro comum é esquecer de considerar o coeficiente a, assumindo que ele é 1 sem verificação. O ponto P(−1, 4) existe justamente para forçar o cálculo de a, e ignorá-lo leva a uma função com raízes corretas, mas que não passa pelo ponto dado. Guarde o passo a passo: escreva a forma fatorada com as raízes, use o ponto para achar a, e então expanda para obter b e c.
Critério | Forma fatorada (raízes) | Relações de Girard | Verificação com o ponto P(−1,4) |
|---|---|---|---|
Equação usada | f(x) = a(x + 2)(x − 3) | S = x₁ + x₂ = −b/a; P = x₁·x₂ = c/a | f(−1) = a(−1+2)(−1−3) = −4a |
Resultado para a | 4 = a(1)(−4) → a = −1 | a = −1 (já conhecido do ponto) | 4 = −4a → a = −1 |
Resultado para b | Expansão: −(x² − x − 6) → b = 1 | −b/a = 1 → b = 1 | f(x) = −x² + x + 6 → b = 1 |
Resultado para c | Expansão: −(x² − x − 6) → c = 6 | c/a = −6 → c = 6 | f(x) = −x² + x + 6 → c = 6 |
Vantagem | Direta, evita erros de sinal nos fatores | Confirma rapidamente soma e produto | Garante que o ponto pertence ao gráfico |
Apresenta valores fracionários e o ponto P como coeficiente c. O erro está em não usar a forma fatorada corretamente: as raízes −2 e 3 não produzem coeficientes fracionários, e o valor 4 (a ordenada do ponto) não é o coeficiente c. O coeficiente c é o valor da função em x = 0, que, na função correta f(x) = −x² + x + 6, é 6, não 4.
Lista os números −1, −2 e 3, que são, respectivamente, o valor de a (correto) e as raízes da função. A banca tenta confundir o candidato misturando o coeficiente a com as raízes. Os coeficientes b e c não são −2 e 3; eles são obtidos pela expansão da forma fatorada, resultando em b = 1 e c = 6.
Traz a = 1/2, b = −3/2 e c = −2. Esses valores não satisfazem a condição das raízes. Se testarmos a soma das raízes pela relação de Girard, −b/a = (3/2)/(1/2) = 3, mas a soma correta é 1. Além disso, o produto c/a = (−2)/(1/2) = −4, enquanto o produto correto é −6. A alternativa falha em ambos os critérios.
Os coeficientes a = −1, b = 1 e c = 6 são exatamente os que satisfazem todas as condições. A forma fatorada f(x) = −(x + 2)(x − 3) tem raízes −2 e 3, e ao expandir obtemos −x² + x + 6, que passa pelo ponto P(−1, 4), pois f(−1) = −1 − 1 + 6 = 4. A alternativa espelha corretamente o resultado do cálculo.
Apresenta a = 1, b = −1 e c = −6. Essa seria a função se a = 1, mas o ponto P(−1, 4) não é satisfeito: com a = 1, a forma fatorada seria (x + 2)(x − 3) = x² − x − 6, e f(−1) = 1 + 1 − 6 = −4, não 4. O sinal de a está invertido; o ponto força a = −1, não a = 1.
A regra de ouro para questões com raízes e um ponto é sempre começar pela forma fatorada f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Ela já resolve metade do problema, e o ponto fornece a equação para achar a. Depois, expanda e compare com a forma geral para extrair b e c. Esse método é direto e evita erros de sinal.
Gabarito: letra D
Link permanente: /questoes/ce387692