Questão de Matemática — Inequações de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2026

Inequação do 2º grau com módulo

Gabarito: letra A. A solução da inequação $x^2 - 4|x| + 3 \le 0$ é o conjunto $[-3,-1] \cup [1,3]$, pois a função é simétrica em relação ao eixo y (por causa do módulo) e, para cada lado, a inequação se reduz a uma quadrática cuja solução é um intervalo fechado entre as raízes. A chave é lembrar que $|x| = x$ para $x \ge 0$ e $|x| = -x$ para $x < 0$, o que permite dividir o problema em dois casos.

A ideia por trás

Uma inequação do segundo grau pergunta para quais valores de $x$ a expressão é menor ou igual a zero. A resposta é um intervalo (ou união de intervalos) de valores, não um único número. Quando aparece o módulo, a função deixa de ser uma parábola simples e vira uma curva simétrica: o gráfico de $x^2 - 4|x| + 3$ é formado por duas parábolas espelhadas, uma para $x \ge 0$ e outra para $x < 0$.

A definição de módulo é o ponto de partida:

Assim, a inequação original se desdobra em dois casos:

Caso 1: $x \ge 0$ — aqui $|x| = x$, então a inequação vira $x^2 - 4x + 3 \le 0$.

Caso 2: $x < 0$ — aqui $|x| = -x$, então a inequação vira $x^2 + 4x + 3 \le 0$.

Cada uma dessas é uma inequação do 2º grau comum. Para resolvê-las, encontramos as raízes e analisamos o sinal da parábola (concavidade para cima, pois o coeficiente de $x^2$ é positivo).

Resolvendo o Caso 1 ($x \ge 0$)

A equação associada é $x^2 - 4x + 3 = 0$. Fatorando:

Raízes: $x = 1$ e $x = 3$. Como a parábola tem concavidade para cima, a expressão é $\le 0$ entre as raízes, ou seja, para $1 \le x \le 3$. Como estamos no caso $x \ge 0$, a solução parcial é $[1, 3]$.

Resolvendo o Caso 2 ($x < 0$)

A equação associada é $x^2 + 4x + 3 = 0$. Fatorando:

Raízes: $x = -1$ e $x = -3$. Novamente, concavidade para cima, então a expressão é $\le 0$ entre as raízes, ou seja, para $-3 \le x \le -1$. Como estamos no caso $x < 0$, a solução parcial é $[-3, -1]$.

União das soluções

A solução final é a união dos dois intervalos:

Isso corresponde exatamente à alternativa A.

Por que as outras estão erradas

• B) $[1,3]$ — considera apenas o caso $x \ge 0$, esquecendo que o módulo também produz soluções para $x < 0$.

• C) $[-3,3]$ — inclui o intervalo $(-1, 1)$, onde a expressão é positiva (por exemplo, $x = 0$ dá $3 > 0$).

• D) $(-\infty, 3]$ — inclui valores negativos menores que $-3$ (como $x = -4$, que dá $16 + 16 + 3 = 35 > 0$) e também o intervalo $(-1, 1)$.

• E) $(-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$ — é simplesmente todo o conjunto dos reais, o que claramente não satisfaz a inequação (por exemplo, $x = 0$ não pertence à solução).

Visualizando no gráfico

A função $f(x) = x^2 - 4|x| + 3$ tem o seguinte comportamento:

• Para $x \ge 0$: parábola com raízes em 1 e 3, vértice em $(2, -1)$.

• Para $x < 0$: parábola espelhada com raízes em -1 e -3, vértice em $(-2, -1)$.

A inequação pede onde o gráfico está abaixo ou sobre o eixo x, que são exatamente os dois intervalos encontrados.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É a união correta dos dois intervalos obtidos nos dois casos do módulo: $[-3,-1]$ (para $x < 0$) e $[1,3]$ (para $x \ge 0$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Considera apenas o caso $x \ge 0$, ignorando completamente a parte negativa. É o erro clássico de esquecer que $|x| = -x$ para $x < 0$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Inclui o intervalo $(-1, 1)$, onde a expressão é positiva. Por exemplo, $x = 0$ resulta em $3 > 0$, então 0 não pode estar na solução.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Além de incluir $(-1, 1)$, inclui também valores menores que $-3$, como $x = -4$, onde a expressão é $16 + 16 + 3 = 35 > 0$. O intervalo correto para a parte negativa é fechado em $-3$ e $-1$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Representa todo o conjunto dos reais (a união de $(-\infty, 1]$ com $[1, +\infty)$ é $\mathbb{R}$). Isso é claramente falso, pois a expressão é positiva em vários pontos, como $x = 0$.

Gabarito: letra A