Questão de Matemática — Inequações de Primeiro Grau (Inequações Simultâneas, Inequações-Produto e Quociente) — CESPE / CEBRASPE 2026

Inequação modular: 2|x − 3| ≤ x

Gabarito: letra E — o conjunto solução é [2, 6]. A resolução exige aplicar a definição de módulo, que transforma a inequação em duas inequações do 1º grau, e depois intersectar os resultados, pois a solução deve satisfazer ambas as condições simultaneamente.

A inequação modular é um clássico de concursos: ela combina o conceito de módulo (distância de um número à origem) com as regras de resolução de inequações do 1º grau. O módulo de um número real $x$, denotado $|x|$, é definido como:

Ou seja, o módulo "remove o sinal" de um número, retornando sempre um valor não negativo. Para resolver uma inequação com módulo, o método mais direto é analisar os dois casos possíveis para a expressão dentro do módulo.

No caso de $|x - 3|$, temos:

• Se $x - 3 \geq 0$ (isto é, $x \geq 3$), então $|x - 3| = x - 3$.

• Se $x - 3 < 0$ (isto é, $x < 3$), então $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$.

Aplicando isso à inequação $2|x - 3| \leq x$, obtemos dois sistemas de inequações que devem ser resolvidos separadamente e, ao final, unidos (pois qualquer valor de $x$ que satisfaça um dos casos é solução).

Caso 1: $x \geq 3$

Neste caso, $|x - 3| = x - 3$. A inequação fica:

Como já tínhamos a condição $x \geq 3$, a solução deste caso é a interseção: $3 \leq x \leq 6$.

Caso 2: $x < 3$

Neste caso, $|x - 3| = 3 - x$. A inequação fica:

Como já tínhamos a condição $x < 3$, a solução deste caso é a interseção: $2 \leq x < 3$.

Solução final: união dos dois casos:

Portanto, o conjunto solução é o intervalo fechado de 2 a 6, que corresponde à alternativa E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta o intervalo $(-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$, que é exatamente o complemento da solução correta. Esse erro ocorre quando o candidato inverte o sentido da desigualdade ao multiplicar por um número negativo, ou quando confunde a união dos casos com a interseção. A solução correta é um intervalo contínuo [2, 6], não uma união de dois intervalos disjuntos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $(-\infty, 6]$, que é o resultado de se considerar apenas o Caso 1 ($x \geq 3$) e ignorar a condição $x \geq 3$, ou de se resolver erroneamente o Caso 2 sem a restrição. O valor $x = 0$, por exemplo, está nesse intervalo, mas $2|0 - 3| = 6 \nleq 0$, então não é solução. A solução correta tem limite inferior 2, não $-\infty$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $[2, \infty)$, que é o resultado de se considerar apenas o Caso 2 ($x < 3$) e ignorar a condição $x < 3$, ou de se resolver erroneamente o Caso 1 sem a restrição. O valor $x = 10$, por exemplo, está nesse intervalo, mas $2|10 - 3| = 14 \nleq 10$, então não é solução. A solução correta tem limite superior 6, não $+\infty$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $(-\infty, 2]$, que é o resultado de se inverter o sinal da desigualdade em algum passo (por exemplo, ao multiplicar por um número negativo sem inverter o sentido). O valor $x = 0$ está nesse intervalo, mas $2|0 - 3| = 6 \nleq 0$, então não é solução. A solução correta começa em 2, não em $-\infty$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $[2, 6]$, que é exatamente a união dos dois casos resolvidos corretamente: $[2, 3) \cup [3, 6] = [2, 6]$. Todos os valores entre 2 e 6, inclusive os extremos, satisfazem a inequação original. Por exemplo, $x = 2$: $2|2 - 3| = 2 \leq 2$ (verdadeiro); $x = 6$: $2|6 - 3| = 6 \leq 6$ (verdadeiro).

Gabarito: letra E