Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — CESPE / CEBRASPE 2026

Binômio de Newton: coeficiente de um termo específico

Gabarito: letra A — o coeficiente do termo em $x^9$ na expansão de $(2x^2 - 2\sqrt{6}x + 3)^6$ é $-10560\sqrt{6}$. A resolução exige aplicar o Teorema do Binômio de Newton para um trinômio, identificando as combinações de expoentes que somam 9 e calculando os coeficientes binomiais correspondentes.

O Teorema do Binômio de Newton generaliza a expansão de $(a+b)^n$: cada termo é da forma $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$, onde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ é o coeficiente binomial. Para um trinômio como $(A + B + C)^n$, a expansão envolve somas de termos $\frac{n!}{i!j!k!} A^i B^j C^k$ com $i+j+k=n$. O desafio aqui é encontrar todas as combinações de expoentes $i, j, k$ (para os termos $2x^2$, $-2\sqrt{6}x$ e $3$, respectivamente) tais que $i+j+k=6$ e a potência de $x$ resultante seja $x^9$. Como o termo $2x^2$ contribui com $x^{2i}$ e o termo $-2\sqrt{6}x$ contribui com $x^j$, precisamos de $2i + j = 9$.

Vamos resolver a equação $2i + j = 9$ com $i, j, k \geq 0$ e $i+j+k=6$. As soluções são:

• $i=3, j=3, k=0$

• $i=4, j=1, k=1$

Não há outras combinações, pois se $i=2$, então $j=5$, e $k=-1$ (impossível); se $i=5$, $j=-1$ (impossível). Portanto, apenas dois termos contribuem para o coeficiente de $x^9$.

Para cada combinação, o coeficiente é dado por $\frac{6!}{i!j!k!} (2)^{i} (-2\sqrt{6})^{j} (3)^{k}$. Vamos calcular cada um:

1. Para $i=3, j=3, k=0$: o coeficiente é $\frac{6!}{3!3!0!} (2)^3 (-2\sqrt{6})^3 (3)^0 = 20 \cdot 8 \cdot (-8 \cdot 6\sqrt{6}) = 20 \cdot 8 \cdot (-48\sqrt{6}) = -7680\sqrt{6}$.

2. Para $i=4, j=1, k=1$: o coeficiente é $\frac{6!}{4!1!1!} (2)^4 (-2\sqrt{6})^1 (3)^1 = 30 \cdot 16 \cdot (-2\sqrt{6}) \cdot 3 = 30 \cdot 16 \cdot (-6\sqrt{6}) = -2880\sqrt{6}$.

Somando os dois: $-7680\sqrt{6} + (-2880\sqrt{6}) = -10560\sqrt{6}$. Esse é o coeficiente procurado.

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é esquecer uma das combinações de expoentes ou errar o sinal ao elevar o termo negativo $-2\sqrt{6}$ a uma potência ímpar. Além disso, é comum o candidato tentar aplicar diretamente a fórmula do binômio para dois termos, sem perceber que o trinômio exige uma abordagem mais geral.

Para fixar o método, lembre-se: ao expandir um trinômio, você deve considerar todas as triplas de expoentes que somam o grau do binômio e, em seguida, filtrar aquelas que produzem a potência de $x$ desejada. A soma dos coeficientes desses termos é o coeficiente final.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo detalhado acima mostra que o coeficiente é $-10560\sqrt{6}$. As duas combinações de expoentes $(i,j,k) = (3,3,0)$ e $(4,1,1)$ geram, respectivamente, os coeficientes $-7680\sqrt{6}$ e $-2880\sqrt{6}$, cuja soma é exatamente $-10560\sqrt{6}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $-384\sqrt{6}$ corresponde a um erro comum: considerar apenas uma das combinações e errar o coeficiente binomial ou as potências. Por exemplo, se o candidato calcular apenas o termo com $i=4, j=1, k=1$ e errar o coeficiente binomial (usando $\binom{6}{4}=15$ em vez de $30$), obteria $15 \cdot 16 \cdot (-6\sqrt{6}) = -1440\sqrt{6}$, que não é o valor. O número $-384\sqrt{6}$ não corresponde a nenhum termo individual correto da expansão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $-57024\sqrt{6}$ é um distrator que pode surgir de um erro de cálculo nas potências ou na multiplicação dos coeficientes. Por exemplo, se o candidato calcular o termo com $i=3, j=3, k=0$ e errar a potência de $(-2\sqrt{6})^3$, tratando-a como $(-2)^3 \cdot (\sqrt{6})^3 = -8 \cdot 6\sqrt{6} = -48\sqrt{6}$ (correto), mas errar o coeficiente binomial (usando $\binom{6}{3}=10$ em vez de $20$), obteria $10 \cdot 8 \cdot (-48\sqrt{6}) = -3840\sqrt{6}$. O valor $-57024\sqrt{6}$ não corresponde a nenhum cálculo correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $6336$ é um número sem a parte irracional $\sqrt{6}$. Isso indica que o candidato pode ter ignorado o termo $-2\sqrt{6}x$ ou errado ao elevar esse termo, tratando-o como se fosse um número racional. Como o coeficiente procurado envolve $\sqrt{6}$ (devido à presença do termo com $j$ ímpar), a resposta correta deve conter $\sqrt{6}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $71280$ também é um número racional, sem $\sqrt{6}$. Além disso, é positivo, enquanto o coeficiente correto é negativo. Isso sugere que o candidato pode ter errado o sinal ao elevar o termo negativo a uma potência ímpar ou ter somado os coeficientes de forma incorreta, ignorando os sinais.

Gabarito: letra A