Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2026

Distribuição de objetos distintos em caixas iguais

Gabarito: letra D. Para distribuir 120 discos distintos em 6 caixas iguais, cada uma com 20 discos, o número de maneiras é dado por $\dfrac{120!}{(20!)^6 \cdot 6!}$. Isso porque primeiro dividimos os discos em 6 grupos ordenados de 20 (o que dá $\dfrac{120!}{(20!)^6}$) e depois dividimos por $6!$ para desconsiderar a ordem das caixas, já que elas são iguais.

O problema envolve a partição de um conjunto de elementos distintos em grupos de tamanhos iguais, onde os grupos são indistinguíveis. Vamos construir o raciocínio passo a passo.

Primeiro, imagine que as 6 caixas fossem distintas (por exemplo, caixas numeradas de 1 a 6). Para preencher a caixa 1, escolhemos 20 discos entre os 120: $C_{120,20}$. Para a caixa 2, escolhemos 20 entre os 100 restantes: $C_{100,20}$. Continuando, para a caixa 6, escolhemos 20 entre os 20 restantes: $C_{20,20}$. Pelo princípio multiplicativo, o total de maneiras com caixas distintas seria:

Cada combinação $C_{n,20} = \dfrac{n!}{20!(n-20)!}$. Multiplicando todas, os denominadores $20!$ se repetem 6 vezes e os fatoriais intermediários se cancelam, resultando em:

Esse é o número de maneiras de dividir os discos em 6 grupos de 20 se os grupos fossem ordenados (caixas distintas).

Como as caixas são iguais, qualquer permutação das 6 caixas entre si não gera uma distribuição diferente. Por exemplo, colocar os discos A–T na caixa 1 e U–AJ na caixa 2 é o mesmo que colocar U–AJ na caixa 1 e A–T na caixa 2. Como há $6!$ maneiras de ordenar as 6 caixas, devemos dividir o resultado anterior por $6!$:

Essa é a fórmula clássica de partição em grupos de tamanhos iguais quando os grupos são indistinguíveis. A pegadinha central da questão está exatamente em esquecer de dividir por $6!$, o que levaria à alternativa E. A alternativa D é a única que aplica corretamente a divisão pela permutação das caixas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $\left( \dfrac{120!}{20!6!} \right)^6$ não corresponde a nenhum raciocínio válido. Ela eleva ao quadrado uma fração que mistura $20!$ e $6!$ no denominador, o que não reflete a escolha sequencial de 20 discos por caixa. O correto seria $\dfrac{120!}{(20!)^6}$, antes da divisão por $6!$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A soma $\sum^5_{k=0} \dfrac{(120-20k)!}{20!(100 -20k)!}$ não representa a contagem pedida. Ela soma termos que lembram combinações $C_{120-20k,20}$, mas isso contaria apenas a escolha de uma única caixa em cada etapa, sem considerar as demais, e sem a divisão pela permutação das caixas. É uma fórmula sem fundamento para o problema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $\dfrac{1}{6!} \sum^5_{k=0} \dfrac{(120-20k)!}{20!(100 -20k)!}$ tenta corrigir a alternativa B dividindo por $6!$, mas a soma em si já está errada. O somatório não representa a multiplicação das escolhas sucessivas de 20 discos; ele soma combinações isoladas, o que não corresponde à partição completa dos 120 discos.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $\dfrac{120!}{(20!)^6 \cdot 6!}$ é exatamente a fórmula da partição de 120 elementos distintos em 6 grupos de 20 elementos cada, com grupos indistinguíveis. O numerador $120!$ conta todas as permutações dos discos; o denominador $(20!)^6$ elimina as permutações internas de cada grupo; e o fator $6!$ elimina as permutações entre os grupos, já que as caixas são iguais.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\dfrac{120!}{(20!)^6}$ seria correta se as caixas fossem distintas. Como são iguais, ela conta cada distribuição $6!$ vezes (uma para cada ordem das caixas). Falta dividir por $6!$, que é exatamente o que a alternativa D faz.

Gabarito: letra D