Questão de Matemática — Sistemas Lineares — CESPE / CEBRASPE 2026

Sistemas Lineares: Classificação e Conjunto Solução

Gabarito: letra E. O sistema é possível e indeterminado (SPI), pois possui infinitas soluções parametrizadas por uma variável livre. Resolvendo por escalonamento, obtemos $z = t$, $y = -\frac{3}{5} + \frac{3}{5}t$ e $x = -\frac{4}{5} - \frac{4}{5}t$, que corresponde exatamente à alternativa E.

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que devem ser satisfeitas simultaneamente. A solução de um sistema é uma sequência de números que torna todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo. A classificação depende do número de soluções: se não há solução, o sistema é impossível (SI); se há uma única solução, é possível e determinado (SPD); se há infinitas soluções, é possível e indeterminado (SPI).

Para resolver o sistema, podemos usar o método do escalonamento (ou eliminação de Gauss). O objetivo é transformar o sistema em uma forma triangular, onde a última equação tenha apenas uma incógnita, facilitando a resolução de trás para frente. Vamos aplicar esse método ao sistema dado:

Primeiro, vamos eliminar $x$ da segunda e terceira equações. Multiplicando a primeira equação por $-\frac{1}{2}$ e somando com a segunda, e multiplicando a primeira por $-\frac{5}{2}$ e somando com a terceira, obtemos:

Observe que a segunda e a terceira equações são idênticas. Isso indica que o sistema tem uma equação redundante, ou seja, uma equação é combinação linear das outras. Isso significa que o sistema é possível e indeterminado, com uma variável livre.

Vamos resolver a segunda equação para $y$ em função de $z$:

Multiplicando por 2: $-5y + 3z = 3$, logo $-5y = 3 - 3z$, então $y = -\frac{3}{5} + \frac{3}{5}z$.

Agora, substituímos $y$ na primeira equação para encontrar $x$ em função de $z$:

Portanto, o conjunto solução é $S = \{(-\frac{4}{5} - \frac{4}{5}t, -\frac{3}{5} + \frac{3}{5}t, t) : t \in \mathbb{R}\}$, onde fizemos $z = t$.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que o sistema não é determinado. Muitos alunos tentam resolver por Cramer ou substituição direta e, ao encontrar uma inconsistência ou uma equação redundante, podem se confundir. A chave é perceber que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras, o que torna o sistema indeterminado.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta uma solução única $S = \{(0,0,1)\}$. Testando na primeira equação: $2(0) + 0 + 1 = 1$, ok. Na segunda: $0 - 2(0) + 2(1) = 2$, ok. Na terceira: $5(0) + 4(1) = 4$, ok. Surpreendentemente, $(0,0,1)$ é uma solução particular! No entanto, o sistema não é determinado, pois possui infinitas soluções. A alternativa erra ao afirmar que esse é o conjunto solução completo, ignorando a indeterminação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta uma solução única $S = \{(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}, 0)\}$. Testando na primeira equação: $2(\frac{4}{5}) + (-\frac{3}{5}) + 0 = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = 1$, ok. Na segunda: $\frac{4}{5} - 2(-\frac{3}{5}) + 2(0) = \frac{4}{5} + \frac{6}{5} = 2$, ok. Na terceira: $5(\frac{4}{5}) + 4(0) = 4$, ok. Novamente, é uma solução particular, mas o sistema é indeterminado, então o conjunto solução não é um único ponto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $S = \{(-\frac{3}{5} + \frac{3}{5}t, \frac{4}{5} - \frac{4}{5}t, t) : t \in \mathbb{R}\}$. Esta é uma parametrização com infinitas soluções, mas os sinais e coeficientes estão trocados. Testando com $t=0$: $(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0)$. Na primeira equação: $2(-\frac{3}{5}) + \frac{4}{5} + 0 = -\frac{6}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{2}{5} \neq 1$. Portanto, não satisfaz o sistema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o conjunto solução é vazio ($S = \phi$), o que caracterizaria um sistema impossível. No entanto, como vimos, o sistema possui soluções (por exemplo, $(0,0,1)$), então não é impossível.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $S = \{(-\frac{4}{5} - \frac{4}{5}t, -\frac{3}{5} + \frac{3}{5}t, t) : t \in \mathbb{R}\}$, que é exatamente a solução que encontramos. Para $t=0$, temos $(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}, 0)$, que satisfaz as três equações. Para qualquer $t$, as equações são satisfeitas, confirmando que o sistema é possível e indeterminado.

Gabarito: letra E