Questão de Matemática — Progressão Aritmética — CESPE / CEBRASPE 2026

Progressão Aritmética em Polígonos

Gabarito: letra D — o quarto termo da PA é $\frac{5\pi}{7}$ radianos. A soma dos ângulos internos de um heptágono é $5\pi$ radianos, e como os sete ângulos estão em PA, o termo central (o quarto) é a média aritmética de todos eles, ou seja, $\frac{5\pi}{7}$.

Vamos entender o raciocínio por trás dessa questão, que combina dois conceitos: a soma dos ângulos internos de um polígono e as propriedades de uma progressão aritmética.

Primeiro, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados é dada pela fórmula $S = (n-2) \times 180°$. Para um heptágono ($n=7$), temos $S = (7-2) \times 180° = 5 \times 180° = 900°$. Em radianos, isso equivale a $5\pi$ (pois $180° = \pi$ radianos).

Agora, a propriedade crucial da PA: em uma progressão aritmética com um número ímpar de termos, o termo central é exatamente a média aritmética de todos os termos. Isso decorre do fato de que a soma dos termos equidistantes do centro é constante e igual ao dobro do termo central. Como o heptágono tem 7 ângulos, o quarto termo é o termo central da PA.

Portanto, o quarto termo é a média dos sete ângulos: $\frac{5\pi}{7}$. Essa é a resposta.

A pegadinha aqui é que muitos alunos tentam encontrar a razão da PA ou o primeiro termo, o que é desnecessário. A questão explora diretamente a propriedade do termo central de uma PA com número ímpar de termos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\pi$ radianos equivale a 180°. Esse valor seria a soma dos ângulos internos de um triângulo, não a média dos ângulos de um heptágono. O aluno que marca esta opção provavelmente confundiu a soma dos ângulos internos de um triângulo com o valor do termo central da PA do heptágono.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{2\pi}{3}$ radianos equivale a 120°. Esse valor não tem relação direta com a soma dos ângulos internos de um heptágono. Pode ser um distrator para quem tenta calcular o ângulo interno de um polígono regular de 6 lados (hexágono), que é $120°$, mas o heptágono não é regular e a questão não pede o ângulo interno individual, e sim o termo central da PA.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{3\pi}{5}$ radianos equivale a 108°. Esse valor seria o ângulo interno de um pentágono regular, não a média dos ângulos de um heptágono. O aluno que marca esta opção pode ter confundido o número de lados do polígono (5 em vez de 7) ou aplicado a fórmula do ângulo interno de um polígono regular de forma equivocada.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{5\pi}{7}$ radianos é exatamente a média aritmética dos sete ângulos internos do heptágono, que somam $5\pi$ radianos. Como o quarto termo é o termo central da PA, ele é igual a essa média. A alternativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{6\pi}{7}$ radianos equivale a aproximadamente 154,3°. Esse valor não corresponde à média dos ângulos internos do heptágono. Pode ser um distrator para quem calcula a soma dos ângulos internos de um octógono ($6\pi$ radianos) e divide por 7, confundindo o número de lados do polígono.

Gabarito: letra D