Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — CESPE / CEBRASPE 2026

Lei dos Senos e Cossenos: área do triângulo

Gabarito: letra A. A área do triângulo é $\frac{81(\sqrt{3}+1)}{8}$. Para chegar a esse valor, usamos a lei dos senos para encontrar o lado oposto ao ângulo de 30° e, em seguida, aplicamos a fórmula da área que envolve dois lados e o seno do ângulo entre eles. O ângulo C mede 105°, e o seno de 105° é $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, o que leva ao resultado final.

A questão envolve um triângulo qualquer, não retângulo, então não podemos usar diretamente as razões trigonométricas simples. Precisamos das leis dos senos e cossenos, que relacionam lados e ângulos em qualquer triângulo. A lei dos senos estabelece que a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto é constante para todos os lados do triângulo. Já a lei dos cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo, relacionando um lado com os outros dois e o cosseno do ângulo entre eles.

Vamos identificar os elementos do triângulo ABC. O ângulo em A é 30°, o ângulo em B é 45°. Pela soma dos ângulos internos de um triângulo (180°), o ângulo em C é 180° - 30° - 45° = 105°. O lado oposto ao ângulo B (45°) mede 9. Vamos chamar esse lado de $b$. O lado oposto ao ângulo A (30°) vamos chamar de $a$. Pela lei dos senos, temos:

Substituindo os valores conhecidos:

Agora temos o lado $a$ (oposto a A) e o lado $b$ (oposto a B). O ângulo entre esses dois lados é o ângulo C, que mede 105°. A área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:

Substituindo os valores:

Precisamos calcular $\sin 105°$. Usando a fórmula do seno da soma:

Substituindo na fórmula da área:

Portanto, a área do triângulo é $\frac{81(\sqrt{3} + 1)}{8}$, que corresponde à alternativa A.

A pegadinha desta questão está em dois pontos: primeiro, é preciso lembrar que a lei dos senos relaciona o lado com o seno do ângulo oposto, e não com o seno de qualquer ângulo. Segundo, o cálculo do seno de 105° exige a fórmula da soma de arcos, que muitos candidatos esquecem ou aplicam incorretamente. Além disso, a simplificação final da expressão com radicais pode levar a erros se não for feita com cuidado.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta exatamente o valor encontrado: $\frac{81(\sqrt{3} + 1)}{8}$. O cálculo completo, mostrado acima, confirma que a área do triângulo é esse valor. A alternativa está correta porque aplica corretamente a lei dos senos para encontrar o lado $a$, calcula o seno de 105° usando a soma de arcos e simplifica a expressão final.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta $\frac{81}{8}$, que é o valor da área sem o fator $(\sqrt{3} + 1)$. Isso aconteceria se o seno de 105° fosse considerado igual a 1, o que é um erro, pois $\sin 105° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, e não 1. O candidato que escolhe esta alternativa provavelmente errou no cálculo do seno de 105° ou simplificou incorretamente a expressão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta $\frac{81\sqrt{3}}{4}$. Esse valor seria obtido se o seno de 105° fosse considerado igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (seno de 60°), o que é um erro. O seno de 105° não é igual ao seno de 60°. O candidato que escolhe esta alternativa provavelmente confundiu o ângulo de 105° com o de 60° ou errou na aplicação da fórmula da soma de arcos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta $\frac{81\sqrt{3}}{8}$. Esse valor seria obtido se o seno de 105° fosse considerado igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e, além disso, houvesse um erro na simplificação. O candidato que escolhe esta alternativa provavelmente cometeu os mesmos erros da alternativa C, mas com uma simplificação adicional incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta $\frac{81(\sqrt{3} + 1)}{4}$, que é o dobro do valor correto. Isso aconteceria se o candidato esquecesse de multiplicar por $\frac{1}{2}$ na fórmula da área ou se errasse na simplificação da expressão. O candidato que escolhe esta alternativa provavelmente aplicou a fórmula da área de forma incorreta, esquecendo o fator $\frac{1}{2}$.

Gabarito: letra A