Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2026

Geometria Espacial: Área Lateral do Cone

Gabarito: letra E — o raio do cone é $\sqrt{2}\,m$. A área lateral de um cone circular reto é dada por $A_l = \pi r g$, onde $g$ é a geratriz, e a relação entre geratriz, raio e altura é $g^2 = r^2 + h^2$. Substituindo os dados do enunciado ($A_l = \sqrt{6}\pi$ e $h = 1$) e resolvendo o sistema, chegamos a $r = \sqrt{2}$.

O cone é um sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. A área lateral corresponde à área da superfície curva que envolve o cone, excluindo a base. Para um cone circular reto, essa área é calculada como o produto de $\pi$, pelo raio da base ($r$) e pela geratriz ($g$):

A geratriz é a distância do vértice até um ponto qualquer da circunferência da base, percorrendo a superfície lateral. No cone reto, a geratriz, o raio da base e a altura formam um triângulo retângulo, onde a geratriz é a hipotenusa. Portanto, vale o Teorema de Pitágoras:

Para resolver a questão, precisamos encontrar o valor de $r$ que satisfaz as duas condições dadas. Vamos montar o sistema de equações:

1. Da área lateral: $\pi r g = \sqrt{6}\pi$. Cancelando $\pi$ em ambos os lados, obtemos $r g = \sqrt{6}$.

2. Da relação pitagórica, com $h = 1$: $g^2 = r^2 + 1$.

Da primeira equação, isolamos $g = \frac{\sqrt{6}}{r}$. Substituindo na segunda equação:

Multiplicando ambos os lados por $r^2$ (lembrando que $r > 0$):

Essa é uma equação biquadrada. Para resolvê-la, fazemos a substituição $u = r^2$, resultando em:

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

As raízes são $u = 2$ e $u = -3$. Como $u = r^2$ deve ser positivo, descartamos $u = -3$. Portanto, $r^2 = 2$, e como o raio é uma medida positiva, temos:

A alternativa correta é a letra E.

A pegadinha desta questão está em não relacionar corretamente a área lateral com a geratriz e a altura. Muitos candidatos tentam usar a fórmula da área total ($A_t = \pi r (r + g)$) ou confundem a geratriz com a altura, o que leva a equações incorretas. É fundamental lembrar que a área lateral não inclui a base e que a geratriz é sempre maior que a altura, pois é a hipotenusa do triângulo retângulo formado com o raio.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{6}$ corresponde à área lateral do cone ($A_l = \sqrt{6}\pi$), não ao raio. O candidato que confunde a medida da área com a medida do raio cai nessa alternativa. A área tem dimensão de comprimento ao quadrado, enquanto o raio é uma medida linear.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $3\sqrt{2}$ não tem relação direta com os dados do problema. Ele poderia surgir de um erro de cálculo, como, por exemplo, ao elevar ao quadrado a área lateral e extrair a raiz de forma incorreta, ou ao manipular erroneamente a equação biquadrada. Não há nenhuma interpretação geométrica que leve a esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $2$ é o quadrado do raio correto ($r^2 = 2$), não o raio em si. O candidato que resolve a equação biquadrada e encontra $u = 2$, mas esquece de extrair a raiz quadrada para obter $r$, marca esta alternativa. É um erro comum de esquecimento do passo final.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{3}$ é a altura de um cone equilátero (onde a geratriz é o dobro do raio), não o raio deste cone. Em um cone equilátero, $h = r\sqrt{3}$, e o candidato que confunde as propriedades de diferentes tipos de cone pode marcar esta opção. No problema, a altura é 1, e o raio é $\sqrt{2}$, não $\sqrt{3}$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, a resolução do sistema formado pela área lateral e pela relação pitagórica leva a $r^2 = 2$, e portanto $r = \sqrt{2}$. A alternativa E é a única que apresenta o valor correto do raio.

Gabarito: letra E