Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2026
Matemática›Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença
Código
ce387704
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANSA
Ano
2026
Cargo
Prof NS ( )
Uma empresa está passando por um processo de auditoria interna e otimização de sua planta industrial. Para isso, os auditores estão analisando a composição de equipes de segurança operacional, o mapeamento de competências técnicas dos funcionários e o comportamento de sistemas de controle de fluxo de gases. A partir da situação hipotética apresentada, julgue o item subsequente. Suponha que, em um levantamento com 120 funcionários acerca de certificações técnicas, tenha sido observado que 70 têm certificação do tipo A, 60 do tipo U e 50 do tipo S. Suponha, ainda, que 30 tenham as certificações A e U; 25 tenham U e S; 20 tenham A e S; e 10 tenham as três certificações. Nessa situação, o número de funcionários que têm exatamente duas dessas certificações é igual a 40.
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GabaritoE — Errado
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Conjuntos: princípio da inclusão-exclusão
Gabarito: letra E (ERRADO). O número de funcionários com exatamente duas certificações é 45, e não 40. O cálculo correto subtrai, de cada intersecção dupla, os 10 que também têm a terceira certificação: (30 − 10) + (25 − 10) + (20 − 10) = 20 + 15 + 10 = 45.
O problema envolve três conjuntos (certificações A, U e S) e pede a quantidade de elementos que pertencem a exatamente dois deles. A pegadinha clássica é confundir a intersecção de dois conjuntos (que inclui quem tem os três) com a região de "exatamente dois" (que exclui quem tem os três). Vamos destrinchar isso.
Imagine três círculos que se sobrepõem: A, U e S. A região central, onde os três se encontram, tem 10 pessoas (as que têm as três certificações). Cada região de intersecção de dois conjuntos — A∩U, U∩S e A∩S — inclui essa região central. Por exemplo, os 30 que têm A e U são formados por: quem tem só A e U (exatamente duas) + quem tem A, U e S (as três). Para achar quem tem exatamente A e U, subtraímos os 10 da intersecção tripla: 30 − 10 = 20.
O mesmo raciocínio vale para as outras duplas:
Exatamente A e U: 30 − 10 = 20
Exatamente U e S: 25 − 10 = 15
Exatamente A e S: 20 − 10 = 10
Somando: 20 + 15 + 10 = 45. Portanto, a afirmação de que são 40 está errada.
Uma forma de visualizar é pensar que a intersecção tripla é contada três vezes quando somamos as intersecções duplas (30 + 25 + 20 = 75). Para obter apenas quem tem exatamente duas, precisamos subtrair duas vezes a intersecção tripla de cada dupla, ou seja, subtrair 3 × 10 = 30 de 75, resultando em 45. Outra maneira: somar as intersecções duplas e subtrair 3 vezes a tripla: 75 − 30 = 45.
A banca explora exatamente essa confusão: o candidato pode somar as intersecções duplas (30 + 25 + 20 = 75) e, sem subtrair a tripla corretamente, chegar a um número errado, ou pode subtrair apenas uma vez a tripla (75 − 10 = 65), o que também não é o que se pede. O termo "exatamente duas" é o gatilho para lembrar de excluir quem tem as três.
A afirmação diz que o número de funcionários com exatamente duas certificações é 40. O cálculo correto é:
Exatamente A e U: 30 − 10 = 20
Exatamente U e S: 25 − 10 = 15
Exatamente A e S: 20 − 10 = 10
Total: 20 + 15 + 10 = 45
O erro está em não subtrair corretamente a intersecção tripla. Se o candidato simplesmente somar as intersecções duplas (30 + 25 + 20 = 75) e subtrair uma vez a tripla (75 − 10 = 65), ou se subtrair de forma incorreta, pode chegar a 40, mas o valor correto é 45.
NÃO CAIA NESSA!
A banca troca a intersecção de dois conjuntos (que inclui quem tem os três) pela região de "exatamente dois" (que exclui quem tem os três). Ao ver "30 têm A e U", o candidato pode pensar que esses 30 têm apenas A e U, mas eles incluem os 10 que também têm S. A palavra "exatamente" é o sinal de que a intersecção tripla deve ser subtraída de cada dupla.