Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2026
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
ce387705
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANSA
Ano
2026
Cargo
Prof NS ( )
Uma empresa está passando por um processo de auditoria interna e otimização de sua planta industrial. Para isso, os auditores estão analisando a composição de equipes de segurança operacional, o mapeamento de competências técnicas dos funcionários e o comportamento de sistemas de controle de fluxo de gases. A partir da situação hipotética apresentada, julgue o item subsequente. Considere que, para compor uma comissão técnica de auditoria em segurança operacional, a empresa disponha de 8 engenheiros e 6 técnicos de operação. Considere, ainda, que a comissão deva ser formada por exatamente 4 membros, de forma que nela haja, no mínimo, 2 engenheiros. Nesse caso, haverá 826 maneiras distintas de se formar tal comissão.
CCerto
EErrado
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GabaritoC — Certo
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Análise Combinatória: combinação com restrição
Gabarito: letra C (CERTO). A afirmação está correta: há exatamente 826 maneiras de formar a comissão com 4 membros, sendo no mínimo 2 engenheiros, a partir de 8 engenheiros e 6 técnicos. O cálculo envolve somar as combinações possíveis para cada distribuição válida de engenheiros e técnicos, usando o princípio multiplicativo e o princípio aditivo.
O problema pede para formar uma comissão de 4 pessoas, com a restrição de que haja no mínimo 2 engenheiros. Isso significa que as possibilidades são: 2 engenheiros e 2 técnicos, 3 engenheiros e 1 técnico, ou 4 engenheiros e 0 técnicos. Não podemos ter 1 engenheiro e 3 técnicos, pois isso violaria a condição de "no mínimo 2 engenheiros".
Para cada uma dessas três situações, usamos a combinação simples, pois a ordem dos membros na comissão não importa. A fórmula da combinação é , onde é o total de elementos e é o número de elementos escolhidos.
Vamos calcular cada caso:
2 engenheiros e 2 técnicos: Escolhemos 2 engenheiros entre 8 e 2 técnicos entre 6. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos as combinações: .
3 engenheiros e 1 técnico: Escolhemos 3 engenheiros entre 8 e 1 técnico entre 6: .
4 engenheiros e 0 técnicos: Escolhemos 4 engenheiros entre 8: .
Como essas três situações são mutuamente excludentes (não podem ocorrer ao mesmo tempo), usamos o princípio aditivo para somar os resultados: .
A pegadinha clássica deste tipo de questão é o candidato esquecer de considerar todas as possibilidades que satisfazem a restrição, ou errar ao aplicar o princípio multiplicativo quando deveria usar o aditivo (ou vice-versa). Aqui, a banca explora exatamente a necessidade de combinar os dois princípios: multiplicar dentro de cada caso (escolher engenheiros E técnicos) e somar entre os casos (2 engenheiros OU 3 engenheiros OU 4 engenheiros).
Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO
A afirmação está correta. O cálculo detalhado é:
Caso 1 (2 engenheiros e 2 técnicos): .
Caso 2 (3 engenheiros e 1 técnico): .
Caso 3 (4 engenheiros): .
Somando os três casos, pois são alternativas excludentes: maneiras distintas. Portanto, o item está CERTO.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta induzir o candidato a considerar apenas um dos casos possíveis (por exemplo, apenas 2 engenheiros e 2 técnicos) ou a usar o princípio multiplicativo de forma incorreta, somando as combinações de engenheiros e técnicos como se fossem independentes. A chave é lembrar que "no mínimo 2 engenheiros" abre três cenários, e cada cenário exige o produto das combinações, com a soma final dos resultados.
PEGA ESSA DICA!
Em questões de combinação com restrições, liste todas as possibilidades que atendem à condição antes de calcular. Use o princípio multiplicativo (E) para escolhas dentro de um mesmo grupo e o princípio aditivo (OU) para somar os grupos mutuamente excludentes. Uma tabela ajuda a organizar: