Questão de Matemática — Matrizes — CESPE / CEBRASPE 2026

Potenciação de matrizes

Gabarito: letra E (ERRADO). O elemento da primeira linha e segunda coluna de $C^{10}$ é 20, e não 210. Para a matriz $C = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, a potência $C^n$ tem a forma $\begin{pmatrix}1 & 2n \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, de modo que $C^{10} = \begin{pmatrix}1 & 20 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ — o elemento pedido vale 20, não 210.

A potenciação de matrizes é uma operação definida apenas para matrizes quadradas, pois exige que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda (condição de existência do produto). Para uma matriz $A$ quadrada e um natural $n$, define-se $A^n = A \cdot A \cdot \ldots \cdot A$ ($n$ fatores), com $A^0 = I$ e $A^1 = A$. No caso da matriz $C$, que é triangular superior (elementos abaixo da diagonal principal são nulos), a potência preserva essa estrutura: o elemento da primeira linha e segunda coluna cresce linearmente com o expoente.

Vamos calcular explicitamente para entender o padrão. Primeiro, $C^2 = C \cdot C$:

O elemento (1,2) passou de 2 para 4. Agora, $C^3 = C^2 \cdot C$:

O elemento (1,2) agora é 6. O padrão é claro: para $C^n$, o elemento da primeira linha e segunda coluna é $2n$. Isso ocorre porque, ao multiplicar $\begin{pmatrix}1 & 2k \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ por $C$, o elemento (1,2) do produto é $1\cdot2 + 2k\cdot1 = 2 + 2k$, ou seja, soma-se 2 a cada multiplicação. Portanto, para $n=10$, o elemento é $2 \times 10 = 20$.

A pegadinha da banca está em oferecer o número 210, que é o resultado de uma confusão: o candidato pode pensar que o elemento (1,2) é multiplicado por 10 (resultando em $2 \times 10 = 20$, que não é 210), ou pode tentar calcular $C^{10}$ de forma incorreta, somando os elementos da diagonal (que são 1) com o elemento (1,2) de forma equivocada. Outra possibilidade é o candidato confundir a potência de matriz com a multiplicação de um escalar pela matriz, ou ainda aplicar a fórmula de binômio de Newton incorretamente, sem considerar que as matrizes não comutam. O valor 210 não corresponde a nenhum elemento de $C^{10}$.

Para resolver questões de potenciação de matrizes, o método mais eficiente é calcular as primeiras potências e identificar o padrão. No caso de matrizes triangulares superiores com diagonal unitária, como $C$, a potência $n$-ésima tem a forma $\begin{pmatrix}1 & an \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, onde $a$ é o elemento (1,2) da matriz original. Esse padrão pode ser provado por indução, mas na prova basta observar os primeiros termos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmação de que o elemento da primeira linha e segunda coluna de $C^{10}$ é 210 está errada. O valor correto é 20, conforme demonstrado: $C^{10} = \begin{pmatrix}1 & 20 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$. O número 210 não tem relação com o padrão de crescimento linear do elemento (1,2), que é $2n$ para $C^n$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação é falsa, portanto a alternativa correta é a letra E (Errado). O elemento (1,2) de $C^{10}$ é 20, e não 210. A banca explora o erro de cálculo ou a confusão entre a potência de matriz e outras operações.

Gabarito: letra E (ERRADO).