Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2026

Análise Combinatória: contagem de subconjuntos

Gabarito: letra C (CERTO). A indústria pode fabricar 31 espécies diferentes de fertilizantes, pois cada um dos 5 ingredientes pode estar presente ou ausente, totalizando $2^5 = 32$ combinações possíveis; excluindo a combinação em que nenhum ingrediente é usado (que não resultaria em fertilizante), restam 31 espécies, número maior que 30. O raciocínio se baseia no Princípio Fundamental da Contagem (princípio multiplicativo), que é a base da análise combinatória.

O problema é um clássico de contagem de subconjuntos. Temos 5 ingredientes (A, B, C, D, E) e, para cada um, duas possibilidades: estar presente ou não estar presente na mistura. Como as escolhas são independentes, aplicamos o princípio multiplicativo: multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa. Assim, o total de combinações possíveis (incluindo a combinação vazia, sem nenhum ingrediente) é:

No entanto, a combinação em que nenhum ingrediente é utilizado não corresponde a um fertilizante (não há mistura alguma). Portanto, o número de espécies de fertilizantes é:

Como 31 > 30, a afirmação está correta.

Essa é uma aplicação direta do Princípio Fundamental da Contagem, que afirma: se um experimento pode ocorrer em várias etapas sucessivas e independentes, com $p_1$ possibilidades na primeira etapa, $p_2$ na segunda, ..., $p_n$ na n-ésima, então o número total de possibilidades é o produto $p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n$. No caso, cada ingrediente é uma etapa com 2 possibilidades (sim/não).

Uma forma alternativa de enxergar é pensar no número de subconjuntos de um conjunto com 5 elementos: o total de subconjuntos é $2^5 = 32$, incluindo o conjunto vazio. Excluindo o vazio, temos 31 subconjuntos não vazios, cada um representando uma mistura diferente.

A pegadinha da banca está em esquecer de excluir a combinação vazia ou em errar o cálculo de $2^5$. Muitos candidatos podem calcular $2^5 = 32$ e concluir que é maior que 30, mas sem considerar que a mistura sem nenhum ingrediente não é um fertilizante. Outros podem pensar em arranjos ou combinações (como $C_{5,1} + C_{5,2} + \dots$), mas o caminho mais simples é o princípio multiplicativo.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. O número de espécies de fertilizantes é 31, que é maior que 30. O cálculo é:

• Cada ingrediente tem 2 opções: presente ou ausente.

• Total de combinações: $2^5 = 32$.

• Excluindo a combinação sem nenhum ingrediente: $32 - 1 = 31$.

Portanto, a indústria pode fabricar 31 espécies, superando o limite de 30.

Alternativa E — ❌ ERRADO

A afirmação está errada, pois o número de espécies é 31, que é maior que 30. Quem marca ERRADO provavelmente cometeu um dos seguintes erros:

• Esqueceu de considerar que cada ingrediente pode estar ou não, contando apenas as combinações com todos os ingredientes (1 espécie) ou com um único ingrediente (5 espécies), totalizando menos de 30.

• Errou o cálculo de $2^5$, achando que é 10 ou 25.

• Não excluiu a combinação vazia, mas mesmo assim 32 > 30, então o erro seria apenas conceitual, não afetando o gabarito.

O raciocínio correto é o princípio multiplicativo: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$, menos a combinação vazia = 31.

Gabarito: letra C (CERTO).