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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2026

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
ce387710
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANSA
Ano
2026
Cargo
Prof NS ( )
Uma indústria fabrica fertilizantes por meio da mistura, em quantidades iguais, dos ingredientes A, B, C, D e E, podendo cada ingrediente estar ou não na mistura. A presença de diferentes ingredientes resulta em diferentes espécies de fertilizantes. Tendo por base a situação hipotética precedente, julgue o item a seguir.   O número de espécies de fertilizantes fabricadas com exatamente dois ingredientes é igual ao número de espécies fabricadas com exatamente três ingredientes.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Análise Combinatória: Combinações Simples

Gabarito: letra C (Certo). O número de espécies com exatamente dois ingredientes é igual ao número de espécies com exatamente três ingredientes, pois ambos correspondem a C5,2=10C_{5,2} = 10 e C5,3=10C_{5,3} = 10, respectivamente. A igualdade decorre da propriedade das combinações: Cn,k=Cn,n−kC_{n,k} = C_{n,n-k}.

O problema envolve a escolha de subconjuntos de um conjunto de 5 ingredientes (A, B, C, D, E). Como a ordem dos ingredientes na mistura não importa (misturar A e B é o mesmo que misturar B e A), utilizamos combinações simples, não arranjos ou permutações. A fórmula da combinação simples é:

Cn,k=n!k!(n−k)!C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

onde nn é o número total de elementos e kk é o tamanho do subconjunto escolhido.

Para exatamente dois ingredientes, temos n=5n=5 e k=2k=2:

C5,2=5!2!(5−2)!=5!2!⋅3!=5⋅4⋅3!2⋅1⋅3!=202=10C_{5,2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10

Para exatamente três ingredientes, temos n=5n=5 e k=3k=3:

C5,3=5!3!(5−3)!=5!3!⋅2!=5⋅4⋅3!3!⋅2⋅1=202=10C_{5,3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10

Ambos os cálculos resultam em 10. Isso não é coincidência: existe uma propriedade fundamental das combinações que afirma que escolher kk elementos de um conjunto de nn é equivalente a escolher os n−kn-k elementos que ficam de fora. Assim, Cn,k=Cn,n−kC_{n,k} = C_{n,n-k}. No caso, C5,2=C5,3C_{5,2} = C_{5,3} porque 2+3=52 + 3 = 5.

Uma forma de visualizar é pensar que, ao escolher 2 ingredientes para a mistura, automaticamente escolhemos os 3 que não entram. Portanto, cada combinação de 2 tem uma combinação complementar de 3, e vice-versa, estabelecendo uma correspondência biunívoca entre os dois conjuntos.

A pegadinha que a banca poderia explorar seria o candidato pensar em arranjos (onde a ordem importa) ou em permutações, mas o enunciado deixa claro que a mistura é a mesma independentemente da ordem dos ingredientes. Outro erro comum seria calcular 5×4=205 \times 4 = 20 para dois ingredientes, esquecendo de dividir por 2!2! para eliminar as duplicatas (AB e BA são a mesma mistura).

Caso

k (ingredientes escolhidos)

n − k (ingredientes não escolhidos)

Cálculo

Resultado

1

2

3

C₅,₂ = 5!/(2!·3!) = 10

10

2

3

2

C₅,₃ = 5!/(3!·2!) = 10

10

Item — ✅ CERTO

A afirmação está correta. O número de espécies com exatamente dois ingredientes é C5,2=10C_{5,2} = 10, e o número de espécies com exatamente três ingredientes é C5,3=10C_{5,3} = 10. Como os dois valores são iguais, a proposição é verdadeira.

A propriedade Cn,k=Cn,n−kC_{n,k} = C_{n,n-k} garante a igualdade sempre que k+(n−k)=nk + (n-k) = n, o que ocorre aqui com 2+3=52 + 3 = 5. Portanto, a resposta é Certo.

Gabarito: letra C (Certo).

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