Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2026

Conjuntos: princípio da inclusão-exclusão

Gabarito: letra A. O número de policiais que estudaram em ambos os tipos de instituição é 50, pois, pelo princípio da inclusão-exclusão, a soma dos que estudaram em instituições públicas (200) com os que estudaram em particulares (200) excede o total de 350 exatamente na interseção: 200 + 200 − 350 = 50. Esse valor está no intervalo "igual ou superior a 48 e inferior a 52".

O problema envolve dois conjuntos dentro de um universo de 350 policiais: o conjunto P dos que estudaram em instituições públicas e o conjunto Q dos que estudaram em instituições particulares. Sabemos que n(P) = 200 e n(Q) = 200, mas não sabemos quantos estudaram em ambos — essa é a interseção P ∩ Q, exatamente o que a questão pede. O total de 350 é a união P ∪ Q, pois todos os policiais da pesquisa estudaram em pelo menos um dos dois tipos de instituição (o enunciado não menciona ninguém que não tenha estudado em nenhuma).

A ferramenta para resolver é o princípio da inclusão-exclusão, que evita contar duas vezes os elementos que pertencem à interseção. A fórmula para dois conjuntos é:

Substituindo os valores conhecidos:

Portanto, 50 policiais estudaram tanto em instituições públicas quanto em particulares. Esse é o valor exato, e a alternativa A é a única que contém 50 em seu intervalo (48 ≤ 50 < 52).

A lógica por trás da fórmula é simples: se somarmos os 200 que estudaram em públicas com os 200 que estudaram em particulares, chegamos a 400 — mas o total de policiais é 350. A diferença de 50 corresponde exatamente àqueles que foram contados duas vezes, ou seja, os que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente. Sem subtrair a interseção, estaríamos superestimando o total.

Uma forma de visualizar é pensar em um diagrama de Venn: o círculo P tem 200 elementos, o círculo Q tem 200, e a região central (interseção) é contada duas vezes quando somamos os círculos. Para que a união total seja 350, a região central precisa ter exatamente 50 elementos. Isso também significa que 150 policiais estudaram apenas em instituições públicas (200 − 50) e outros 150 apenas em particulares (200 − 50), totalizando 150 + 50 + 150 = 350.

A pegadinha desta questão é que ela não pergunta diretamente "quantos estudaram em ambos", mas sim em qual intervalo esse número se encaixa. O candidato que não aplicar a fórmula pode se perder tentando adivinhar ou pode errar o cálculo. A banca também distribui os intervalos de forma que apenas um deles contenha o valor correto, então o cálculo exato é indispensável.

Guarde o princípio da inclusão-exclusão como a ferramenta padrão para problemas de conjuntos com sobreposição: sempre que houver dois grupos com elementos em comum e um total conhecido, a interseção é a soma dos grupos menos o total.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor calculado é exatamente 50, e o intervalo da alternativa A é "igual ou superior a 48 e inferior a 52". Como 48 ≤ 50 < 52, o valor 50 está contido nesse intervalo. É a única alternativa que contém o resultado correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo "igual ou superior a 53 e inferior a 57" não contém o valor 50. Esse intervalo corresponderia a uma interseção maior do que a calculada, o que aconteceria se o total de policiais fosse menor (por exemplo, se o total fosse 345, a interseção seria 55). A banca coloca intervalos deslocados para testar se o candidato fez o cálculo correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo "igual ou superior a 58 e inferior a 62" está ainda mais distante do valor correto. Uma interseção nessa faixa só seria possível se o total de policiais fosse entre 338 e 342, o que não é o caso. O candidato que errou a conta pode cair aqui se, por exemplo, subtraiu incorretamente ou confundiu a ordem das operações.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo "igual ou superior a 63 e inferior a 67" também não contém 50. Esse valor corresponderia a uma interseção de 63 a 66, o que implicaria um total de policiais entre 334 e 337 — bem diferente dos 350 do enunciado. A alternativa testa se o candidato inverteu a lógica e somou em vez de subtrair.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo "igual ou superior a 68 e inferior a 72" é o mais distante do valor correto. Uma interseção nessa faixa só seria possível com um total de policiais entre 328 e 332. Essa alternativa provavelmente atrai quem fez 200 + 200 = 400 e depois subtraiu um valor errado, ou quem simplesmente chutou um número alto.

Gabarito: letra A — o número de policiais que estudaram em ambos os tipos de instituição é 50, que está no intervalo "igual ou superior a 48 e inferior a 52".