Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — CESPE / CEBRASPE 2025

Relações métricas no triângulo retângulo

Gabarito: letra A — o comprimento de AC é $6\sqrt{3}$ cm. A resolução usa a relação métrica do cateto: em um triângulo retângulo, o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ela. Como AB = 6 cm e CP = 9 cm (projeção do cateto AC), temos AC² = BC × CP, e com BC = AB + CP = 15 cm, obtemos AC² = 15 × 9 = 135, logo AC = $\sqrt{135} = 6\sqrt{3}$ cm.

Vamos entender o problema. Temos um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A. A altura relativa ao vértice A é o segmento AP, que parte de A e encontra a hipotenusa BC no ponto P, formando um ângulo de 90° com BC. O ponto P divide a hipotenusa em dois segmentos: BP e CP. O enunciado nos dá CP = 9 cm, que é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa. Também nos dá AB = 6 cm, que é um dos catetos.

A chave para resolver é usar as relações métricas do triângulo retângulo. Existem três relações principais que relacionam catetos, hipotenusa, altura e projeções:

1. Cateto ao quadrado = hipotenusa × projeção do cateto: $b^2 = a \cdot n$ e $c^2 = a \cdot m$, onde $b$ e $c$ são os catetos, $a$ é a hipotenusa, e $m$ e $n$ são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

2. Produto dos catetos = hipotenusa × altura: $b \cdot c = a \cdot h$.

3. Altura ao quadrado = produto das projeções: $h^2 = m \cdot n$.

No nosso caso, queremos encontrar o cateto AC. Sabemos que CP = 9 cm é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa. A hipotenusa BC é a soma das projeções: BC = BP + CP. Mas não sabemos BP diretamente. No entanto, podemos encontrar BP usando a relação do cateto AB: $AB^2 = BC \cdot BP$. Como AB = 6 cm, temos $6^2 = BC \cdot BP$, ou seja, $36 = BC \cdot BP$.

Também sabemos que BC = BP + CP = BP + 9. Substituindo na equação anterior: $36 = (BP + 9) \cdot BP = BP^2 + 9 \cdot BP$. Isso nos dá uma equação quadrática: $BP^2 + 9 \cdot BP - 36 = 0$. Resolvendo, encontramos BP = 3 cm (a raiz positiva). Portanto, BC = 3 + 9 = 12 cm.

Agora, aplicamos a relação do cateto AC: $AC^2 = BC \cdot CP = 12 \cdot 9 = 108$. Logo, $AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ cm. Essa é a resposta.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ cm. A relação usada foi $AC^2 = BC \times CP$, com BC = 12 cm e CP = 9 cm.

Alternativa B — ❌ Incorreta

12 cm seria o valor da hipotenusa BC, não do cateto AC. O candidato pode confundir os segmentos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

3 cm é o valor de BP, a outra projeção, não de AC.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$3\sqrt{3}$ cm seria o resultado se a hipotenusa fosse 3 cm, o que não é o caso. O candidato pode ter usado a relação com a projeção errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$3+3\sqrt{3}$ cm não corresponde a nenhuma relação métrica direta. Pode ser uma tentativa de somar a projeção com a raiz de outra relação, mas não é o valor correto.

Gabarito: letra A