Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce397097

Cálculo de cos(3θ) a partir da tangente

Gabarito: letra D. Como $\tan \theta = \sqrt{5}$ e $\theta$ está no primeiro quadrante, temos $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ e $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$ . Aplicando a fórmula do cosseno do triplo, $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ , obtemos $\cos 3\theta = -\frac{7\sqrt{6}}{18}$ , que corresponde à alternativa D.

Para resolver essa questão, precisamos combinar duas ferramentas da trigonometria: a relação fundamental e a fórmula do cosseno do triplo. Vamos por partes.

Primeiro, a relação fundamental da trigonometria estabelece que, para qualquer ângulo, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ . Além disso, sabemos que $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ . Com essas duas relações, podemos determinar o seno e o cosseno de $\theta$ a partir da tangente.

Como $\tan \theta = \sqrt{5} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ , podemos escrever $\sin \theta = \sqrt{5} \cos \theta$ . Substituindo na relação fundamental:

(\sqrt{5} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow 5\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow 6\cos^2 \theta = 1 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{6}.

Como $\theta$ está no primeiro quadrante ( $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ ), o cosseno é positivo, logo $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ . E o seno é $\sin \theta = \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{6}$ .

Agora, para calcular $\cos 3\theta$ , usamos a identidade do cosseno do triplo:

\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta.

Substituindo $\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{6}$ :

\cos 3\theta = 4\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^3 - 3\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) = 4\cdot \frac{6\sqrt{6}}{216} - \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{24\sqrt{6}}{216} - \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{9} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6} - 9\sqrt{6}}{18} = -\frac{7\sqrt{6}}{18}.

Portanto, $\cos 3\theta = -\frac{7\sqrt{6}}{18}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a inversão de sinais e a confusão entre as fórmulas. Muitos candidatos, ao calcular $\cos 3\theta$ , usam a fórmula do seno do triplo ( $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ ) ou esquecem o sinal negativo, obtendo $\frac{7\sqrt{6}}{18}$ (positivo). Outros podem tentar usar a fórmula de adição de arcos, mas a identidade do cosseno do triplo é a mais direta. Fique atento: como $\theta$ é agudo, $3\theta$ pode ultrapassar $90°$ , e o cosseno de um ângulo do segundo quadrante é negativo — por isso o resultado é negativo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}}{3}$ é o valor de $\sin \theta$ (ou de $\tan \theta$ simplificado), não de $\cos 3\theta$ . O candidato que confunde as razões trigonométricas ou que calcula apenas $\cos \theta$ (que seria $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ) pode cair nessa alternativa. O valor correto é negativo e envolve $\sqrt{6}$ , não $\sqrt{5}$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{30}}{6}$ é exatamente o valor de $\sin \theta$ , não de $\cos 3\theta$ . A banca coloca esse valor para testar se o candidato sabe distinguir seno de cosseno. O cosseno do triplo é negativo e tem denominador 18, não 6.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$-1$ seria o valor de $\cos \pi$ (ou de $\cos 180°$ ), mas $3\theta$ não é $\pi$ neste caso. Para que $\cos 3\theta = -1$ , precisaríamos de $3\theta = \pi$ , ou seja, $\theta = \frac{\pi}{3}$ , cuja tangente é $\sqrt{3}$ , não $\sqrt{5}$ . Portanto, essa alternativa é um distrator que testa o conhecimento dos valores notáveis.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, $\cos 3\theta = -\frac{7\sqrt{6}}{18}$ . O cálculo passo a passo:

$\tan \theta = \sqrt{5} \Rightarrow \sin \theta = \sqrt{5} \cos \theta$ .
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow 5\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{6}$ .
$\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{6}$ (positivo, pois $\theta$ é agudo).
$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta = 4\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^3 - 3\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) = -\frac{7\sqrt{6}}{18}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

$-\frac{2}{3}$ é um valor que poderia surgir de um erro de cálculo, como trocar a fórmula do cosseno do triplo pela do seno do triplo ou errar a álgebra das frações. Não corresponde a nenhuma razão trigonométrica direta de $\theta$ ou de $3\theta$ .

Gabarito: letra D — $\cos 3\theta = -\frac{7\sqrt{6}}{18}$ .