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Questão de Matemática — Área e Perímetro do Triângulo — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaÁrea e Perímetro do Triângulo
Código
ce397098
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UNIVESP
Ano
2025
Cargo
Sup Ped ( )
Suponha que o triângulo ΔABC tenha área igual a 103\sqrt{3} cm2. Nesse caso, considerando-se que AB‾\overline{AB} = 8 cm, AC‾\overline{AC} = 5 cm e ∠BAC ∈ \left0, (π)/(2), o valor do ângulo ∠BAC deverá ser igual a
  1. A15°.
  2. B30°.
  3. C45°.
  4. D60°.
  5. E75°.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 60°.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 60° — alternativa D.

A ideia por trás

A área de um triângulo mede o espaço que ele ocupa no plano, em cm². Quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, existe uma fórmula que calcula a área diretamente, sem precisar achar a altura: ela usa o seno desse ângulo, que é uma razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa em um triângulo retângulo.

A fórmula é A = (1/2)·AB·AC·sen(θ), onde AB e AC são os dois lados que formam o ângulo θ. O seno aparece porque, se tomarmos um dos lados como base, a altura do triângulo é o outro lado multiplicado pelo seno do ângulo entre eles. Assim, a área cresce com o produto dos lados e com o seno do ângulo: quanto maior o ângulo (até 90°), maior o seno e maior a área.

Esta questão fornece a área e os dois lados, então basta substituir na fórmula e isolar o seno do ângulo. Depois, comparamos o valor obtido com os senos dos ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) para identificar o ângulo.

O que a questão dá

  • área do triângulo = 10√3 cm²

  • lado AB = 8 cm

  • lado AC = 5 cm

  • ângulo BAC ∈ (0, π/2)

O que queremos: o valor do ângulo ∠BAC

Passo 1 — Montar a fórmula da área com seno

Precisamos relacionar a área com os lados e o ângulo. A fórmula A = (1/2)·AB·AC·sen(θ) é a ponte entre esses elementos, pois usa exatamente os dois lados conhecidos e o ângulo entre eles.

Por que esta fórmula: É a fórmula da área de um triângulo quando se conhecem dois lados e o ângulo compreendido. Ela vem da fórmula clássica base × altura / 2, onde a altura é expressa como AC·sen(θ).

A=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡(θ)A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\theta)

De onde vem cada valor: AA = enunciado: 10√3 cm² · ABAB = enunciado: 8 cm · ACAC = enunciado: 5 cm · θ\theta = enunciado: ângulo BAC (incógnita)

103=12⋅8⋅5⋅sin⁡(θ)10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin(\theta)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o 1/2 e usar A = AB·AC·sen(θ), o que daria sen(θ) = √3/4 e levaria a um ângulo errado.

Passo 2 — Simplificar a multiplicação dos lados

Antes de isolar o seno, precisamos calcular o produto dos lados e a metade, para deixar a equação mais simples.

Por que esta fórmula: Aqui não há fórmula nova; é apenas aritmética: 8 × 5 = 40, e metade disso é 20.

103=20⋅sin⁡(θ)10\sqrt{3} = 20 \cdot \sin(\theta)

De onde vem cada valor: 10310\sqrt{3} = passo 1: área · 2020 = passo 1: (1/2)·8·5

103=20⋅sin⁡(θ)10\sqrt{3} = 20 \cdot \sin(\theta)
NÃO CAIA NESSA!

Errar a conta 8×5 = 40 e depois dividir por 2, obtendo 20; confundir com 40.

Passo 3 — Isolar o seno do ângulo

Queremos descobrir o ângulo, e ele está dentro do seno. Para isso, precisamos deixar o seno sozinho de um lado da equação.

Por que esta fórmula: Dividimos ambos os lados da equação por 20, pois o seno está multiplicado por 20.

sin⁡(θ)=10320\sin(\theta) = \frac{10\sqrt{3}}{20}

De onde vem cada valor: 10310\sqrt{3} = passo 2: área · 2020 = passo 2: coeficiente do seno

sin⁡(θ)=10320\sin(\theta) = \frac{10\sqrt{3}}{20}
sen(θ)=√3/2sen(\theta ) = \boxed{√3/2}
NÃO CAIA NESSA!

Simplificar errado: 10/20 = 1/2, mas o √3 permanece, então fica √3/2, não 1/2.

Passo 4 — Identificar o ângulo pelo seno notável

Com o seno em mãos, comparamos com os valores conhecidos dos ângulos notáveis. O seno de 60° é √3/2, e como o ângulo está entre 0° e 90°, essa é a única possibilidade.

Por que esta fórmula: A tabela dos ângulos notáveis dá sen(60°) = √3/2. Como o intervalo exclui 120° (cujo seno também é √3/2), a resposta é 60°.

θ=60°\theta = 60°

De onde vem cada valor: θ\theta = passo 3: sen(θ) = √3/2

θ=60 ∘\theta = \boxed{60\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com 30°, cujo seno é 1/2; ou esquecer a restrição do intervalo e considerar 120°.

Resposta: 60° — alternativa D

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