Questão de Estatística — Análise de Variância e Somas de Quadrados na Regressão Múltipla — CESPE / CEBRASPE 2024

Um modelo de regressão linear entre uma variável aleatória (dependente) e uma variável não aleatória X (independente) é definido por Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon, em que \varepsilon, denominado erro aleatório, é uma variável aleatória independente de X com média E( \varepsilon) = 0 e desvio padrão Var( \varepsilon) = $\sigma^2$. Um modelo de regressão linear é essencialmente um modelo para a probabilidade condicional de Y com relação a X, denotada por P(Y|X); ele é chamado de simples se - for uma variável aleatória gaussiana. Fixando-se n valores X_1, X_2, \cdots, X_n para a variável independente X, pode-se definir n variáveis aleatórias Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, com i =1, \cdots, n. Pelo método dos mínimos quadrados, é possível obter estimadores $\hat{ \beta_0}$ e $\hat{ \beta_1}$ para os parâmetros \beta_0  e \beta_1 e definir o $\hat{Y_i} = \hat{ \beta_0} + \hat{ \beta_1} X_i$ como o estimador para Y_i. Nesse contexto, são definidos os erros, denominados resíduos, como $Y_i - \hat{Y_i} = e_i$, a soma dos quadrados dos resíduos SQE = \sum_i e_i^2, a soma dos quadrados totais  e a soma dos quadrados totais SQT = \sum_i $Y_i - \bar{Y}$^2 e a soma dos quadrados de regressão SQR = \sum_i $\hat{Y_i} - \bar{Y}$^2, com $\bar{Y} = \sum_i Y_i/n$.

Com base nessas informações, julgue o próximo item, considerando uma variável T, com média nula e desvio padrão unitário, definida por uma distribuição t de Student com 30 graus de liberdade, que tenha o seguinte intervalo com probabilidade de 0,95: P(−2,042 < 1 < 2,042) = 0,95.

Para um modelo de regressão que não seja simples, a soma dos resíduos não será nula.