Em determinado dia, uma central telefônica da segurança pública para chamadas de emergência registrou, entre 6 e 7 horas da manhã, um total de 12 ligações. Nesse dia, entre as 6 e as 19 horas, a quantidade de ligações por hora aumentou em progressão aritmética com razão igual a 4. Nessa situação, a quantidade de ligações registrada entre 18 e 19 horas foi igual a
A52.
B56.
C60.
D64.
E72.
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GabaritoC — 60.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 60 ligações — alternativa C.
A ideia por trás
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante — a razão — ao termo anterior. No dia a dia, ela aparece quando algo cresce (ou diminui) sempre na mesma quantidade por etapa: aqui, as ligações por hora aumentam sempre 4 a cada hora.
O termo geral de uma PA é a_n = a_1 + (n-1)·r, onde a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo. A fórmula mostra que o crescimento é linear: cada passo soma r, então o termo n é o primeiro mais (n-1) vezes a razão. Quanto maior a posição, maior o valor, e a diferença entre termos consecutivos é sempre r.
Esta questão pede para aplicar o termo geral, mas o desafio é identificar corretamente qual é o n do intervalo 18–19h. É preciso contar os intervalos de uma hora a partir das 6h, não as horas do relógio.
O que a questão dá
primeiro termo (6–7h) = 12 ligações
razão da PA = 4
horário inicial: 6h
horário final: 19h
O que queremos: a quantidade de ligações entre 18 e 19 horas
Passo 1 — Contar os intervalos de uma hora
Antes de usar a fórmula, precisamos saber qual termo da PA corresponde ao intervalo 18–19h. Cada intervalo de uma hora é um termo da sequência: o primeiro é 6–7h, o segundo 7–8h, e assim por diante. Contar quantos intervalos existem das 6h até as 19h nos dá o n.
NÃO CAIA NESSA!
Contar as horas de 6 a 19 (13 horas) e achar que são 12 intervalos — mas o primeiro intervalo já é o termo 1, então o 13º intervalo é o termo 13.
Passo 2 — Aplicar a fórmula do termo geral
Já sabemos que o intervalo 18–19h é o 13º termo da PA. Agora usamos a fórmula do termo geral para calcular o valor desse termo, substituindo o primeiro termo, a razão e a posição.
Por que esta fórmula: A fórmula a_n = a_1 + (n-1)·r é a definição de PA: cada termo é o primeiro mais (n-1) vezes a razão. É a relação direta entre posição e valor.
De onde vem cada valor: = enunciado: 12 ligações (6–7h) · = passo 1: 13 · = enunciado: 4
NÃO CAIA NESSA!
Usar n = 12 (dá 56) ou n = 14 (dá 64) por errar a contagem dos intervalos.