Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — CESPE / CEBRASPE 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 41 m — alternativa D.

A ideia por trás

O Teorema de Pitágoras é a relação que vale em todo triângulo retângulo: o quadrado do lado maior (a hipotenusa, oposta ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (os catetos). Ele serve para descobrir um lado quando se conhece os outros dois, e é a base de qualquer problema que envolva uma escada apoiada numa parede, porque a parede e o chão formam um ângulo reto.

A relação é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b, c são os catetos. Se um cateto cresce, a hipotenusa cresce, mas não na mesma proporção: por exemplo, se um cateto dobra, a hipotenusa não dobra, pois o quadrado do cateto é que entra na soma. Isso significa que, para alturas maiores, o comprimento da escada cresce de forma mais lenta, mas sempre maior que o cateto.

Esta questão usa o teorema duas vezes: primeiro para achar a distância do pé da escada à parede (que não muda), e depois para achar o novo comprimento da escada, com a nova altura total. O ponto crítico é somar corretamente as alturas: o ponto C está 28 m acima de B, então a altura total é 12 + 28 = 40 m.

O que a questão dá

• altura do ponto B = 12 m

• comprimento da escada na primeira situação = 15 m

• distância vertical entre B e C = 28 m

O que queremos: o comprimento da escada para alcançar o ponto C

Passo 1 — Calcular a distância do pé da escada à parede

Na primeira situação, a escada de 15 m, a parede de 12 m e o chão formam um triângulo retângulo. A escada é a hipotenusa, a altura é um cateto e a distância do pé da escada à parede é o outro cateto. Precisamos desse valor porque ele não muda quando a escada é reposicionada para alcançar o ponto C.

Por que esta fórmula: Usamos o Teorema de Pitágoras: a² = b² + c². Aqui, a hipotenusa é a escada (15 m), um cateto é a altura (12 m) e o outro é a distância x que queremos. Isolamos x.

De onde vem cada valor: $15$ = enunciado: comprimento da escada · $12$ = enunciado: altura do ponto B

Passo 2 — Calcular a nova altura total

O ponto C está 28 metros acima do ponto B, mas o ponto B já estava a 12 metros do chão. Para saber a altura que a nova escada precisa alcançar, temos que somar essas duas distâncias.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é uma soma direta: a altura total é a altura de B mais a distância de B a C.

De onde vem cada valor: $12$ = enunciado: altura do ponto B · $28$ = enunciado: distância vertical entre B e C

Passo 3 — Calcular o novo comprimento da escada

Agora temos o novo triângulo retângulo: a altura é 40 m, a base continua sendo 9 m (do passo 1), e a escada é a hipotenusa. Aplicamos o Teorema de Pitágoras novamente para achar o comprimento da escada.

Por que esta fórmula: Novamente o Teorema de Pitágoras, agora com os novos catetos. A escada é a hipotenusa L, então L² = 40² + 9².

De onde vem cada valor: $40$ = passo 2: altura total · $9$ = passo 1: distância do pé da escada à parede

Resposta: 41 m — alternativa D