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Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
ce402695
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CBM PA
Ano
2024
Cargo
Sold BM ( )
Um reservatório com a forma de um cilindro circular reto de raio igual a 1 metro e altura igual a 3 metros, totalmente cheio, teve todo volume de água transferido para outra caixa de mesmo formato, porém com raio igual a 2 metros e altura igual a 4 metros.   Sabendo-se que a segunda caixa estava inicialmente vazia, é correto afirmar que a altura do nível de água nessa nova caixa é igual a
  1. A75 cm.
  2. B300 cm.
  3. C225 cm.
  4. D150 cm.
  5. E100 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 75 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 75 cm — alternativa A.

A ideia por trás

O cilindro circular reto é um sólido com duas bases circulares iguais e uma lateral que as une perpendicularmente. O volume é o espaço que ele ocupa, medido em metros cúbicos, e depende de duas medidas: o raio da base e a altura. Quanto maior o raio, maior a área da base; quanto maior a altura, mais camadas de base empilhamos.

O volume de um cilindro é V = π·r²·h, ou seja, a área da base (π·r²) vezes a altura. O raio entra ao quadrado, então dobrar o raio QUADRUPLICA a área da base — e, para o mesmo volume, a altura cai para um quarto. A fórmula vale para qualquer cilindro reto, desde que raio e altura estejam na mesma unidade.

Esta questão usa a conservação do volume: ao transferir a água, o volume não muda, apenas a forma do recipiente. Precisamos calcular o volume do primeiro cilindro e igualá-lo ao volume do segundo, deixando a altura como incógnita.

O que a questão dá

  • raio do primeiro cilindro = 1 m

  • altura do primeiro cilindro = 3 m

  • raio do segundo cilindro = 2 m

  • altura do segundo cilindro = 4 m

O que queremos: a altura do nível de água na segunda caixa, em centímetros

Passo 1 — Calcular o volume do primeiro cilindro

O volume de água transferido é exatamente o volume do primeiro reservatório, que está cheio. Precisamos desse valor para saber quanto a segunda caixa vai receber.

Por que esta fórmula: A fórmula do volume do cilindro é V = π·r²·h, pois o cilindro é um prisma de base circular: a área da base (π·r²) vezes a altura.

V1=π⋅r12⋅h1V_1 = \pi \cdot r_1^{2} \cdot h_1

De onde vem cada valor: r1r_1 = enunciado: 1 m · h1h_1 = enunciado: 3 m

V1=π⋅12⋅3=3 πm3V_1 = \pi \cdot 1^{2} \cdot 3 = \boxed{3\ \pi \text{m}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o quadrado do raio e calcular π·1·3 = 3π, mas aqui o raio é 1, então o quadrado não muda o número — o erro aparece no segundo cilindro.

Passo 2 — Montar a equação do volume na segunda caixa

A água transferida forma um cilindro dentro da segunda caixa, com o mesmo raio da caixa (2 m) e altura desconhecida h. Como o volume se conserva, o volume desse novo cilindro é igual ao volume calculado no passo 1.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula do cilindro, agora com o raio da segunda caixa e a altura h como incógnita. Igualar os volumes é a tradução matemática da conservação.

V1=π⋅r22⋅hV_1 = \pi \cdot r_2^{2} \cdot h

De onde vem cada valor: V1V_1 = passo 1: 3π m³ · r2r_2 = enunciado: 2 m

3π=π⋅22⋅h3\pi = \pi \cdot 2^{2} \cdot h
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura da segunda caixa (4 m) como se fosse a altura da água — a caixa não fica cheia, a água ocupa só uma parte.

Passo 3 — Isolar a altura h

A equação do passo 2 tem π dos dois lados, então podemos simplificar e resolver para h. Isolar a incógnita é o caminho para achar o valor numérico.

Por que esta fórmula: Dividimos ambos os lados por π e por 4 (que é 2²), operações inversas da multiplicação, para deixar h sozinho.

h=3ππ⋅4h = \frac{3\pi}{\pi \cdot 4}

De onde vem cada valor: 3π3\pi = passo 1 · π⋅4\pi \cdot 4 = passo 2: π·2²

h=3π4π=0,75 mh = \frac{3\pi}{4\pi} = \boxed{0{,}75\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por π e obter h = 3/4 = 0,75, mas aqui o π se cancela, então o resultado é o mesmo — o erro seria não simplificar e se confundir.

Passo 4 — Converter a altura para centímetros

As alternativas estão em centímetros, então precisamos transformar o resultado de metros para centímetros. Essa conversão é obrigatória para comparar com as opções.

Por que esta fórmula: 1 metro equivale a 100 centímetros, então multiplicamos o valor em metros por 100. Como o centímetro é a unidade menor, o número aumenta.

hcm=hm×100h_{cm} = h_{m} \times 100

De onde vem cada valor: hmh_m = passo 3: 0,75 m

hcm=0,75×100=75 cmh_{cm} = 0{,}75 \times 100 = \boxed{75\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a conversão e marcar 0,75 m, que não aparece nas alternativas — ou converter errado dividindo por 100.

Resposta: 75 cm — alternativa A

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