Questão de Matemática — Outras Questões sobre Funções — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Outras Questões sobre Funções
Código
ce402697
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CBM PA
Ano
2024
Cargo
Sold BM ( )
O tempo para que uma unidade do corpo de bombeiros, após ser contatada, chegue a determinado setor da cidade é sempre um valor t (em minutos) que pertence ao domínio da função F(t)=\sqrt{2t-12}+\sqrt{9-{\large{3t \over 5 }}}.
Nessa situação, caso a referida unidade do corpo de bombeiros se desloque para esse setor da cidade, o tempo, em minutos, será um valor entre
A0 e 9.
B0 e 12.
C6 e 12.
D6 e 15.
E9 e 15.
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GabaritoD — 6 e 15.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a O tempo t está entre 6 e 15 minutos — alternativa D..
A ideia por trás
O domínio de uma função real é o conjunto de todos os valores que a variável independente pode assumir para que a função produza um resultado válido. Quando a função tem raízes quadradas, a restrição é que o radicando (o que está dentro da raiz) não pode ser negativo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
Para uma função com duas raízes, como F(t) = √(2t−12) + √(9 − 3t/5), cada raiz impõe uma condição: 2t−12 ≥ 0 e 9 − 3t/5 ≥ 0. Como a função é a soma das duas, ambas as condições devem valer ao mesmo tempo — o domínio é a interseção dos intervalos que satisfazem cada uma. Se uma condição falha, a função não existe naquele ponto.
Esta questão cobra exatamente essa interseção: é preciso resolver as duas inequações e combinar os resultados. Quem resolve só uma delas cai nas alternativas parciais.
O que a questão dá
função F(t) = √(2t−12) + √(9 − 3t/5)
t é o tempo em minutos
O que queremos: o intervalo de valores que t pode assumir para que a função exista
Passo 1 — Impor a primeira raiz não negativa
A primeira raiz é √(2t−12). Para que ela exista nos reais, o radicando 2t−12 precisa ser maior ou igual a zero. Essa é a primeira condição que o tempo t deve respeitar.
Por que esta fórmula: A condição de existência de uma raiz quadrada é que o radicando seja ≥ 0. Aqui o radicando é 2t−12.
De onde vem cada valor: = enunciado: radicando da primeira raiz
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar 12 antes de dividir por 2, obtendo t ≥ 6 em vez de t ≥ 6 (na verdade, o erro comum é inverter o sinal ou dividir errado).
Passo 2 — Impor a segunda raiz não negativa
A segunda raiz é √(9 − 3t/5). Ela também precisa ter radicando não negativo. Essa é a segunda condição que t deve satisfazer.
Por que esta fórmula: Mesma regra: radicando ≥ 0. Aqui o radicando é 9 − 3t/5.
De onde vem cada valor: = enunciado: radicando da segunda raiz
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar por 5 sem distribuir corretamente, ou inverter o sinal da desigualdade ao multiplicar por número negativo (aqui não há número negativo, mas é comum errar a álgebra).
Passo 3 — Combinar as duas condições
Como a função é a soma das duas raízes, ambas as condições precisam valer ao mesmo tempo. O domínio é a interseção dos intervalos: t ≥ 6 e t ≤ 15.
Por que esta fórmula: A interseção de dois intervalos é o conjunto dos valores que pertencem aos dois ao mesmo tempo. Aqui, isso resulta no intervalo fechado [6, 15].
De onde vem cada valor: = passo 1: t ≥ 6 · = passo 2: t ≤ 15
NÃO CAIA NESSA!
Considerar apenas uma das condições e escolher uma alternativa parcial, como [6,12] ou [9,15].
Resposta: O tempo t está entre 6 e 15 minutos — alternativa D.