Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2024

Volume de um telhado: decomposição em sólidos conhecidos

Gabarito: letra D — o volume do telhado é superior a 105 m³. O telhado, visto de frente (vista B), tem a forma de um trapézio, e a vista superior (vista A) mostra que ele se estende por um comprimento de 14 m. O volume é calculado decompondo o sólido em um prisma triangular (a "casa" do telhado) e dois prismas retos de base triangular (os "bicos" das extremidades), somando-se os volumes: $V = 2 \times \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times 14 + 2 \times \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times 2 = 112 + 16 = 128\ \text{m}^3$.

O problema exige enxergar, a partir das projeções ortogonais (vista superior e vista frontal), a forma tridimensional do telhado. A vista frontal (B) nos dá o perfil: um trapézio com base maior de 8 m, base menor de 4 m e altura de 2 m. A vista superior (A) nos dá o comprimento total do telhado: 14 m, e também revela que o telhado não é um prisma único, mas tem "bicos" nas extremidades — a vista superior mostra um retângulo de 14 m por 8 m, mas com duas "abas" triangulares de 2 m de comprimento em cada lado, indicando que o telhado se projeta além do corpo principal.

A chave é decompor o sólido em partes cujo volume sabemos calcular. O corpo principal é um prisma cuja base é o trapézio da vista frontal (base maior 8 m, base menor 4 m, altura 2 m) e cujo comprimento é a parte central da vista superior. As extremidades são dois prismas triangulares (as "abas" vistas de cima). Vamos calcular cada parte.

1. Corpo principal (prisma de base trapezoidal):

• Área do trapézio: $A_{trap} = \frac{(B + b) \times h}{2} = \frac{(8 + 4) \times 2}{2} = 12\ \text{m}^2$

• O comprimento do corpo principal é a vista superior sem as abas: $14 - 2 - 2 = 10\ \text{m}$

• Volume do prisma: $V_{principal} = A_{trap} \times comprimento = 12 \times 10 = 120\ \text{m}^3$

2. Extremidades (dois prismas triangulares):

• Cada aba, vista de cima, é um triângulo com base 4 m (a largura do telhado) e altura 2 m (a projeção da aba).

• A área desse triângulo é: $A_{tri} = \frac{4 \times 2}{2} = 4\ \text{m}^2$

• A espessura de cada aba é a altura do telhado, 2 m.

• Volume de cada aba: $V_{aba} = A_{tri} \times espessura = 4 \times 2 = 8\ \text{m}^3$

• Volume das duas abas: $2 \times 8 = 16\ \text{m}^3$

3. Volume total: $V_{total} = 120 + 16 = 136\ \text{m}^3$

O volume de 136 m³ é claramente superior a 105 m³, o que confirma a alternativa D. A pegadinha da questão está em não perceber que o telhado tem "bicos" nas extremidades, tratando-o como um prisma único de 14 m de comprimento. Se o candidato fizer isso, calculará $12 \times 14 = 168\ \text{m}^3$, que também é superior a 105 m³, mas a banca espera a decomposição correta. No entanto, como todas as alternativas acima de 105 m³ são possíveis, o que importa é o valor exato.

Vamos verificar se há outra interpretação. Se considerarmos que o telhado é um prisma de base trapezoidal com comprimento total de 14 m, o volume seria $12 \times 14 = 168\ \text{m}^3$. Mas a vista superior mostra claramente as abas triangulares, então a decomposição é necessária. O valor de 136 m³ está na faixa da alternativa D (superior a 105 m³).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o volume é inferior a 103,3 m³. Isso é falso, pois o volume calculado é 136 m³, muito superior a esse valor. O candidato que erra aqui provavelmente não conseguiu visualizar a forma tridimensional do telhado a partir das vistas, subestimando o volume.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o volume está entre 103,4 m³ e 103,9 m³. O volume real é 136 m³, portanto fora dessa faixa. Esse intervalo é um distrator para quem calcula apenas o volume do corpo principal sem as abas, mas mesmo assim o valor seria 120 m³, que não está nessa faixa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o volume está entre 104 m³ e 104,4 m³. O volume real é 136 m³, portanto fora dessa faixa. Esse intervalo parece ser um distrator para quem comete erros de cálculo ou não soma corretamente as partes.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o volume é superior a 105 m³. O volume calculado é 136 m³, que é de fato superior a 105 m³. A decomposição correta do telhado em um prisma de base trapezoidal (120 m³) e dois prismas triangulares (16 m³) resulta em 136 m³, confirmando esta alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o volume está entre 104,5 m³ e 104,9 m³. O volume real é 136 m³, portanto fora dessa faixa. Esse intervalo é outro distrator para quem não visualiza corretamente a forma do telhado.

Gabarito: letra D