Questão de Matemática — Outras Questões sobre Funções — CESPE / CEBRASPE 2024

Análise do gráfico de f(x) e suas propriedades

Gabarito: letra E. A imagem da função f(x) está incluída no intervalo (−30.000, ∞), pois o gráfico mostra que a função atinge valores negativos muito baixos, mas nunca abaixo de −30.000, e cresce indefinidamente para valores positivos. As demais alternativas são incorretas: o gráfico não está contido no primeiro quadrante (há valores negativos de y), a função não é polinomial de grau no máximo 2 (apresenta mais de duas raízes e mudanças de concavidade), o conjunto de raízes Z tem menos de seis elementos, e o domínio não está restrito ao intervalo [−15, 45] (a função é definida para todo x real).

A questão exige a leitura correta do gráfico de uma função real f(x) e a interpretação de seus conceitos fundamentais: domínio, imagem, raízes e o comportamento da função em diferentes intervalos. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida; a imagem é o conjunto de todos os valores de y que a função assume; e as raízes (ou zeros) são os valores de x onde o gráfico cruza o eixo das abscissas, ou seja, onde f(x) = 0.

O enunciado fornece uma informação crucial: f(x) é sempre positiva para x no intervalo (−∞, −15] ∪ [45, ∞). Isso significa que, para valores de x menores ou iguais a −15 e maiores ou iguais a 45, o gráfico está acima do eixo x. Consequentemente, as raízes da função (onde f(x) = 0) só podem ocorrer no intervalo aberto (−15, 45). O gráfico, que não está disponível na íntegra, mas é descrito pela questão, mostra uma curva que cruza o eixo x em alguns pontos dentro desse intervalo, atinge valores negativos e positivos, e tem um comportamento que se estende indefinidamente para a direita e para a esquerda.

A alternativa E é a correta porque afirma que a imagem da função está incluída no intervalo (−30.000, ∞). Isso significa que todos os valores de y assumidos pela função são maiores que −30.000. O gráfico, mesmo atingindo valores negativos, não desce abaixo de −30.000, e como a função é positiva para x ≤ −15 e x ≥ 45, ela cresce indefinidamente, fazendo com que a imagem seja um conjunto que começa em algum valor acima de −30.000 e vai até o infinito positivo. As outras alternativas falham por diferentes razões: a alternativa A ignora que a função assume valores negativos; a B subestima a complexidade da função; a C superestima o número de raízes; e a D confunde o domínio com o intervalo onde a função é negativa.

A pegadinha central desta questão é a distinção entre domínio e imagem, e a interpretação correta do intervalo onde a função é positiva. O candidato pode ser tentado a marcar a alternativa D, pensando que o domínio é o intervalo onde a função é negativa, mas o domínio é o conjunto de todos os x para os quais a função existe, que é todo o conjunto dos reais. A alternativa E, por sua vez, exige a leitura atenta do gráfico para perceber que o valor mínimo da função é maior que −30.000, e que a função cresce sem limite superior.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O gráfico da função f(x) não está contido no primeiro quadrante. O primeiro quadrante do plano cartesiano é a região onde tanto x quanto y são positivos (x > 0 e y > 0). Como a função assume valores negativos (o gráfico desce abaixo do eixo x), ela não pode estar contida apenas no primeiro quadrante. A alternativa confunde a região do gráfico com o quadrante onde a função é positiva, mas a função também assume valores negativos, o que a coloca em outros quadrantes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A função f(x) não é uma função polinomial de grau no máximo 2. Uma função polinomial de grau 2 (função quadrática) tem um gráfico que é uma parábola, com apenas uma concavidade (para cima ou para baixo) e, no máximo, duas raízes reais. O gráfico descrito na questão apresenta múltiplas raízes (cruza o eixo x em vários pontos) e mudanças de concavidade, o que é característico de uma função polinomial de grau maior que 2, ou de uma função não polinomial. A alternativa subestima a complexidade da função, tentando classificá-la como uma simples parábola.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O conjunto Z = {x ∈ ℝ | f(x) = 0} não tem mais de seis elementos. As raízes da função são os pontos onde o gráfico cruza o eixo x. Pela descrição do gráfico e pela informação de que f(x) é positiva para x ≤ −15 e x ≥ 45, as raízes estão todas no intervalo (−15, 45). O gráfico mostra que a função cruza o eixo x em poucos pontos (menos de seis), portanto o conjunto Z tem menos de seis elementos. A alternativa superestima o número de raízes, possivelmente contando os pontos onde o gráfico toca o eixo x de forma incorreta ou considerando raízes fora do intervalo onde a função é negativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O domínio da função f(x) não está incluído no intervalo [−15, 45]. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. O gráfico mostra que a função existe para valores de x menores que −15 e maiores que 45, pois a função é positiva nesses intervalos. Portanto, o domínio é um conjunto muito maior, que inclui todo o intervalo (−∞, ∞), ou pelo menos uma parte significativa dele. A alternativa confunde o domínio com o intervalo onde a função é negativa, que é o intervalo (−15, 45). O domínio é o conjunto de todos os x, e não apenas o intervalo onde a função é negativa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A imagem da função f(x) está incluída no intervalo (−30.000, ∞). A imagem é o conjunto de todos os valores de y que a função assume. O gráfico mostra que a função atinge valores negativos, mas não desce abaixo de −30.000, e que cresce indefinidamente para valores positivos. Portanto, todos os valores de y são maiores que −30.000, o que significa que a imagem está contida no intervalo (−30.000, ∞). A alternativa está correta porque descreve com precisão o conjunto de valores que a função pode assumir, com base na leitura do gráfico.

Gabarito: letra E