Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402703

MatemáticaFunção de Segundo Grau

Código: ce402703
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: CBM PA
Ano: 2024

Cargo: Of BM ( )

O governo estadual iniciou uma campanha publicitária com o intuito de informar a população a respeito do problema das ligações de ocorrências falsas para serviços de emergência oferecidos pelo SAMU e pelo corpo de bombeiros. Durante o ano em que a campanha foi veiculada, observou-se considerável redução no número de ocorrências falsas, fato que resultou em economia de recursos públicos. Os gastos relacionados à campanha em cada mês e o valor referente à economia de recursos públicos são descritos, respectivamente, pelas funções P(t)=-\dfrac{2}{5}.(t^2-12t-35) e E(t)=2t+9, em que P(t) e E(t) são dados em milhões de reais e t=1 corresponde a primeiro de janeiro, t=2, a primeiro de fevereiro e assim sucessivamente.

Texto 1A3

Em relação à situação apresentada no texto 1A3, é correto afirmar que o gasto máximo do governo estadual com a campanha ocorreu

Ano mês de maio e foi inferior a 27,5 milhões.
Bno mês de junho e foi superior a 28 milhões.
Cno mês de setembro e foi inferior a 29,5 milhões.
Dno mês de julho e foi inferior a 28,5 milhões.
Eno mês de agosto e foi superior a 29 milhões.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — no mês de junho e foi superior a 28 milhões.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função quadrática: ponto de máximo e interpretação contextual

Gabarito: letra B. O gasto máximo do governo com a campanha ocorreu no mês de junho e foi superior a 28 milhões de reais. Isso porque a função que descreve o gasto, $P(t) = -\frac{2}{5}(t^2 - 12t - 35)$ , é uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice (ponto de máximo) ocorre em $t = 6$ , que corresponde a junho, e o valor máximo é $P(6) = 28{,}8$ milhões.

A questão cobra a aplicação do conceito de ponto de máximo de uma função quadrática a um contexto prático. Toda função do tipo $f(x) = ax^2 + bx + c$ tem seu gráfico como uma parábola. Quando o coeficiente $a$ é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo, e o vértice representa o ponto de máximo da função. O valor de $x$ no vértice é dado por $x_v = -\frac{b}{2a}$ , e o valor máximo da função é $y_v = f(x_v)$ .

No problema, a função do gasto é $P(t) = -\frac{2}{5}(t^2 - 12t - 35)$ . Para encontrar o ponto de máximo, primeiro expandimos a função para a forma padrão:

P(t) = -\frac{2}{5}t^2 + \frac{24}{5}t + 14

Aqui, $a = -\frac{2}{5}$ , $b = \frac{24}{5}$ e $c = 14$ . Como $a < 0$ , a parábola tem concavidade para baixo, e o vértice é o ponto de máximo. O mês em que o gasto é máximo é dado por:

t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{\frac{24}{5}}{2 \cdot (-\frac{2}{5})} = -\frac{\frac{24}{5}}{-\frac{4}{5}} = 6

Como $t = 1$ corresponde a janeiro, $t = 2$ a fevereiro, e assim por diante, $t = 6$ corresponde a junho. O valor máximo do gasto é:

P(6) = -\frac{2}{5}(6^2 - 12 \cdot 6 - 35) = -\frac{2}{5}(36 - 72 - 35) = -\frac{2}{5}(-71) = \frac{142}{5} = 28{,}4

Portanto, o gasto máximo foi de 28,4 milhões de reais, que é superior a 28 milhões. A alternativa B está correta.

A pegadinha da banca está em confundir o mês do vértice com o valor do gasto, ou em errar o cálculo do vértice. É comum o candidato calcular $t_v$ corretamente, mas errar ao substituir na função, ou ainda confundir o mês correspondente. Outra armadilha é não expandir a função corretamente, o que levaria a um valor de $t_v$ errado.

1Expandir para forma padrão
2Identificar a < 0 (concavidade)
3Calcular t_v = -b/2a
4Substituir t_v na função
5Interpretar mês e valor

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Mês (t)	Gasto P(t) (milhões)	É o máximo?	Comparação com o gabarito
Maio (5)	28,0	Não	Inferior ao máximo (28,4)
Junho (6)	28,4	Sim	Superior a 28 milhões ✅
Julho (7)	28,0	Não	Inferior ao máximo (28,4)
Agosto (8)	26,8	Não	Inferior ao máximo (28,4)
Setembro (9)	24,8	Não	Inferior ao máximo (28,4)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o gasto máximo ocorreu em maio e foi inferior a 27,5 milhões. O mês de maio corresponde a $t = 5$ . Calculando $P(5) = -\frac{2}{5}(25 - 60 - 35) = -\frac{2}{5}(-70) = 28$ . Ou seja, em maio o gasto foi de 28 milhões, que é menor que o máximo de 28,4 milhões. O erro está em apontar maio como o mês do gasto máximo, quando o vértice está em $t = 6$ (junho).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o vértice da parábola está em $t = 6$ , que corresponde a junho, e o valor máximo é $P(6) = 28{,}4$ milhões, que é superior a 28 milhões. A alternativa está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o gasto máximo ocorreu em setembro e foi inferior a 29,5 milhões. Setembro corresponde a $t = 9$ . Calculando $P(9) = -\frac{2}{5}(81 - 108 - 35) = -\frac{2}{5}(-62) = 24{,}8$ . O gasto em setembro é de 24,8 milhões, bem menor que o máximo. O erro está em apontar setembro como o mês do gasto máximo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o gasto máximo ocorreu em julho e foi inferior a 28,5 milhões. Julho corresponde a $t = 7$ . Calculando $P(7) = -\frac{2}{5}(49 - 84 - 35) = -\frac{2}{5}(-70) = 28$ . O gasto em julho é de 28 milhões, menor que o máximo. O erro está em apontar julho como o mês do gasto máximo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o gasto máximo ocorreu em agosto e foi superior a 29 milhões. Agosto corresponde a $t = 8$ . Calculando $P(8) = -\frac{2}{5}(64 - 96 - 35) = -\frac{2}{5}(-67) = 26{,}8$ . O gasto em agosto é de 26,8 milhões, menor que o máximo. O erro está em apontar agosto como o mês do gasto máximo.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o mês do vértice e o valor do gasto. O candidato pode calcular $t_v = 6$ corretamente, mas errar ao substituir na função, ou ainda confundir o mês correspondente. Outra armadilha é não expandir a função corretamente, o que levaria a um valor de $t_v$ errado. Com treino, você enxerga essas trocas de longe 💪.

Gabarito: letra B

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