Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Função de Segundo Grau
Código
ce402704
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CBM PA
Ano
2024
Cargo
Of BM ( )
O governo estadual iniciou uma campanha publicitária com o intuito de informar a população a respeito do problema das ligações de ocorrências falsas para serviços de emergência oferecidos pelo SAMU e pelo corpo de bombeiros. Durante o ano em que a campanha foi veiculada, observou-se considerável redução no número de ocorrências falsas, fato que resultou em economia de recursos públicos. Os gastos relacionados à campanha em cada mês e o valor referente à economia de recursos públicos são descritos, respectivamente, pelas funções P(t)=-\dfrac{2}{5}.(t^2-12t-35) e E(t)=2t+9, em que P(t) e E(t) são dados em milhões de reais e t=1 corresponde a primeiro de janeiro, t=2, a primeiro de fevereiro e assim sucessivamente.
Texto 1A3
Em determinado momento, o valor gasto com a campanha mencionada no texto 1A3 foi igual ao valor economizado de recursos públicos em decorrência da campanha. A partir dessa informação, é correto afirmar que esse valor foi
Ainferior a 24,3 milhões.
Bsuperior a 27,1 milhões.
Csuperior a 24,4 milhões e inferior a 24,9 milhões.
Dsuperior a 25 milhões e inferior a 26,5 milhões.
Esuperior a 26,6 milhões e inferior a 27 milhões.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoD — superior a 25 milhões e inferior a 26,5 milhões.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Função do segundo grau: igualdade entre gasto e economia
Gabarito: letra D. O valor em que o gasto com a campanha se iguala à economia de recursos é de aproximadamente 25,95 milhões de reais, o que se encaixa no intervalo "superior a 25 milhões e inferior a 26,5 milhões". Isso é obtido igualando as funções P(t) e E(t) e resolvendo a equação do segundo grau resultante.
O problema apresenta duas funções que modelam grandezas diferentes ao longo dos meses do ano: P(t) representa o gasto mensal com a campanha publicitária e E(t) representa a economia mensal de recursos públicos. A pergunta quer saber em que momento esses dois valores coincidem, ou seja, quando P(t) = E(t). Para resolver, precisamos encontrar o valor de t que satisfaz essa igualdade e, em seguida, calcular o valor correspondente de P(t) (ou E(t)), que será o valor procurado.
Primeiro, vamos reescrever a função P(t) de forma expandida para facilitar os cálculos. A função dada é P(t) = -2/5 * (t² - 12t - 35). Aplicando a propriedade distributiva, temos:
P(t) = -2/5 * t² + 24/5 * t + 14
Agora, igualamos P(t) a E(t):
-2/5 * t² + 24/5 * t + 14 = 2t + 9
Para eliminar as frações, multiplicamos toda a equação por 5:
-2t² + 24t + 70 = 10t + 45
Em seguida, passamos todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação. Os coeficientes são a = 2, b = -14 e c = -25. Calculando o discriminante (Δ):
Como t representa os meses do ano (t = 1, 2, 3, ...), a raiz negativa não faz sentido no contexto. Portanto, o momento em que o gasto se iguala à economia ocorre em t ≈ 8,475, ou seja, por volta do mês de agosto.
Para encontrar o valor em que isso ocorre, substituímos t ≈ 8,475 na função E(t) (ou P(t), o resultado é o mesmo):
E(8,475) = 2 * 8,475 + 9 = 16,95 + 9 = 25,95
Portanto, o valor em que o gasto se iguala à economia é de aproximadamente 25,95 milhões de reais. Esse valor está no intervalo da alternativa D: "superior a 25 milhões e inferior a 26,5 milhões".
A pegadinha desta questão está em dois pontos: primeiro, é preciso expandir corretamente a função P(t), que está na forma fatorada, para chegar à equação do segundo grau; segundo, é necessário interpretar que a raiz negativa da equação deve ser descartada, pois não faz sentido no contexto do problema (não existe mês negativo). Além disso, o candidato pode se confundir ao calcular o valor de t e esquecer de substituí-lo de volta nas funções para encontrar o valor pedido.
1Expandir P(t)
2Igualar a E(t)
3Bhaskara: t ≈ 8,475
4E(8,475) ≈ 25,95 mi
LEVEL · soulevel.com.br
Alternativa
Intervalo proposto (milhões)
Valor calculado (≈25,95)
Veredito
A
inferior a 24,3
25,95 > 24,3
❌ Incorreta
B
superior a 27,1
25,95 < 27,1
❌ Incorreta
C
24,4 a 24,9
25,95 > 24,9
❌ Incorreta
D
25,0 a 26,5
25,0 < 25,95 < 26,5
✅ Correta
E
26,6 a 27,0
25,95 < 26,6
❌ Incorreta
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que o valor é inferior a 24,3 milhões. O valor calculado é de aproximadamente 25,95 milhões, que é superior a 24,3 milhões. Portanto, essa alternativa está incorreta.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que o valor é superior a 27,1 milhões. O valor calculado é de aproximadamente 25,95 milhões, que é inferior a 27,1 milhões. Portanto, essa alternativa está incorreta.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que o valor é superior a 24,4 milhões e inferior a 24,9 milhões. O valor calculado é de aproximadamente 25,95 milhões, que é superior a 24,9 milhões. Portanto, essa alternativa está incorreta.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Afirma que o valor é superior a 25 milhões e inferior a 26,5 milhões. O valor calculado é de aproximadamente 25,95 milhões, que se encontra exatamente nesse intervalo. Portanto, essa alternativa está correta.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que o valor é superior a 26,6 milhões e inferior a 27 milhões. O valor calculado é de aproximadamente 25,95 milhões, que é inferior a 26,6 milhões. Portanto, essa alternativa está incorreta.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões que envolvem igualdade entre duas funções, o primeiro passo é sempre igualar as expressões. Em seguida, organize a equação resultante na forma padrão (ax² + bx + c = 0) e utilize a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. Lembre-se de verificar se as raízes encontradas fazem sentido no contexto do problema (por exemplo, se representam meses do ano, devem ser positivas). Por fim, substitua o valor encontrado de volta em uma das funções originais para obter o valor pedido.