Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — CESPE / CEBRASPE 2024

Operações com conjuntos: identificando a região sombreada no diagrama de Venn

Gabarito: letra E — a região destacada corresponde a $(B - C) \cap D$. A expressão representa os elementos que pertencem a B e a D, mas que não pertencem a C — exatamente a área de interseção entre B e D excluindo a parte que também está em C. A resolução exige decompor a expressão em duas etapas: primeiro a diferença $B - C$ (tudo que está em B e não está em C) e depois a interseção desse resultado com D.

A questão cobra a leitura de diagramas de Venn com quatro conjuntos, uma habilidade clássica em concursos. O ponto central é entender o significado de cada operação: a interseção ($\cap$) seleciona os elementos comuns a dois ou mais conjuntos; a diferença ($-$) remove de um conjunto os elementos que pertencem a outro. Quando combinamos operações, a ordem importa: $(B - C) \cap D$ não é o mesmo que $B - (C \cap D)$ nem que $(B \cap D) - C$, embora em alguns casos particulares os resultados possam coincidir.

Vamos pensar em um exemplo concreto. Suponha que B = {1, 2, 3, 4}, C = {3, 4, 5} e D = {2, 4, 6}. A diferença $B - C$ remove de B os elementos 3 e 4, resultando em {1, 2}. Agora, a interseção com D seleciona apenas o elemento 2, pois é o único que está tanto em {1, 2} quanto em D. O resultado final é {2}. Perceba que o elemento 4, embora esteja em B e em D, foi excluído porque também pertence a C — é exatamente essa a lógica da região sombreada na figura.

A pegadinha da banca está em inverter a ordem das operações ou trocar o conjunto que sofre a diferença. Por exemplo, $B - D$ (alternativa D) representaria a área de B que não está em D, o que é diferente da região pedida. Já $(B - D) \cap C$ (alternativa C) seria a parte de B que não está em D, mas que está em C — novamente outra região. A alternativa correta exige que a diferença seja feita com C e a interseção com D, nessa ordem.

Guarde o passo a passo: para cada alternativa, identifique primeiro qual conjunto é o "todo" (o que vem antes da diferença), depois o que é removido e, por fim, com qual conjunto ocorre a interseção. É esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$B \cap D$ representa apenas a interseção entre B e D, incluindo a parte que também pertence a C. A região destacada, porém, exclui essa parte — ela não pode conter elementos de C. A alternativa deixa de aplicar a diferença com C, resultando em uma área maior do que a pedida.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$B \cap C \cap D$ é a interseção tripla: elementos que pertencem simultaneamente a B, C e D. A região destacada, ao contrário, exclui C — ela é formada por elementos que estão em B e D, mas não em C. A alternativa inverte a lógica, incluindo justamente o que deveria ser excluído.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$(B - D) \cap C$ representa os elementos que estão em B, não estão em D, mas estão em C. A região destacada é o oposto: elementos que estão em B, estão em D, mas não estão em C. A alternativa troca o conjunto que sofre a diferença (D no lugar de C) e o conjunto da interseção (C no lugar de D), resultando em uma região completamente diferente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$B - D$ representa todos os elementos de B que não estão em D, independentemente de estarem ou não em C. A região destacada é mais restrita: além de não estar em C, o elemento precisa estar em D. A alternativa ignora a interseção com D, abrangendo uma área maior do que a pedida.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(B - C) \cap D$ é exatamente a região destacada: primeiro, toma-se tudo que está em B e não está em C ($B - C$); depois, seleciona-se apenas o que também está em D. O resultado são os elementos que pertencem a B e a D, mas não a C — a área de interseção entre B e D excluindo a parte que toca C.

A questão é um clássico de diagramas de Venn: a região destacada é sempre descrita por uma combinação de diferença e interseção. A ordem das operações é crucial — $(B - C) \cap D$ não é o mesmo que $(B \cap D) - C$, embora em alguns casos particulares possam coincidir. Na dúvida, teste com um exemplo numérico simples, como fizemos acima.

Gabarito: letra E