Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — CESPE / CEBRASPE 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a A área total do terreno é 4225 m² — alternativa B..

A ideia por trás

Um quadrado é uma figura de quatro lados iguais, e sua área é o produto do lado por ele mesmo: lado × lado. Quando o lado é um número natural (1, 2, 3, …), a área também é um número natural, e esse número é chamado de quadrado perfeito. Aqui temos dois quadrados: o terreno, de lado χ, e a construção, de lado y, ambos com lados naturais.

A área não ocupada é a diferença entre a área do terreno e a área da construção: χ² − y². Essa expressão é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada como (χ − y)(χ + y). Como χ e y são naturais, os dois fatores também são naturais, e χ + y é maior que χ − y. Além disso, os dois fatores têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares), porque a soma deles é 2χ, um número par.

Esta questão cobra exatamente essa fatoração: transformar a diferença de áreas em um produto de dois números naturais e usar a fatoração do número 2929 para descobrir χ e y. O passo decisivo é reconhecer que 2929 é ímpar, então os dois fatores devem ser ímpares.

O que a questão dá

• área não ocupada = 2929 m²

• lado do terreno = χ ∈ ℕ

• lado da edificação = y ∈ ℕ

O que queremos: a área total do terreno, ou seja, χ²

Passo 1 — Escrever a diferença de áreas como produto

A área não ocupada é a diferença entre o quadrado do terreno e o quadrado da construção. Em vez de trabalhar com os quadrados diretamente, usamos a identidade da diferença de quadrados, que transforma a subtração em uma multiplicação — e multiplicação é mais fácil de lidar com números naturais.

Por que esta fórmula: A identidade χ² − y² = (χ − y)(χ + y) é uma das mais úteis da álgebra: ela vale para quaisquer números, e aqui nos dá dois fatores que são números naturais, porque χ e y são naturais.

De onde vem cada valor: $\chi^{2}$ = enunciado: lado do terreno χ · $y^{2}$ = enunciado: lado da edificação y · $2929$ = enunciado: área não ocupada

Passo 2 — Fatorar o número 2929

Precisamos descobrir quais dois números naturais, quando multiplicados, dão 2929. Como χ e y são naturais, os fatores (χ − y) e (χ + y) também são naturais. Fatorar 2929 em seus fatores primos nos mostra todas as possibilidades de pares de fatores.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a forma de decompor um número em seus blocos básicos. Testando divisibilidade: 2929 não é divisível por 2 (é ímpar), nem por 3 (soma dos algarismos 2+9+2+9=22, não múltiplo de 3), nem por 5 (não termina em 0 ou 5), nem por 7 (7×418=2926, sobra 3). Mas 29×101 = 2929, e 101 é primo. Então a fatoração é 29 × 101.

De onde vem cada valor: $2929$ = enunciado: área não ocupada · $29$ = constante: fator primo de 2929 · $101$ = constante: fator primo de 2929

Passo 3 — Montar o sistema de equações

Agora que sabemos que o produto (χ − y)(χ + y) é 29 × 101, e que χ + y é o maior fator, podemos igualar cada fator a um dos números. Isso transforma o problema em um sistema simples de duas equações com duas incógnitas.

Por que esta fórmula: Como χ e y são naturais, os fatores são naturais e χ + y > χ − y. O único par de fatores de 2929 é 29 e 101, então χ − y = 29 e χ + y = 101.

De onde vem cada valor: $29$ = passo 2: fator menor · $101$ = passo 2: fator maior

Passo 4 — Resolver o sistema para achar χ

Com as duas equações, podemos eliminar y somando-as: (χ − y) + (χ + y) = 2χ. Isso nos dá diretamente o valor de χ, que é o lado do terreno.

Por que esta fórmula: Somando as equações, os termos −y e +y se cancelam, sobrando 2χ = 130. Essa é a forma mais rápida de isolar χ.

De onde vem cada valor: $130$ = soma de 29 e 101 (passo 3)

Passo 5 — Calcular a área total do terreno

Já temos o lado do terreno, χ = 65. A área total é o quadrado desse lado, que é a resposta final pedida.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado × lado, ou seja, χ².

De onde vem cada valor: $\chi$ = passo 4: 65

Resposta: A área total do terreno é 4225 m² — alternativa B.