Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — CESPE / CEBRASPE 2024

Diagramas de Venn: traduzindo a região sombreada em expressão de conjuntos

Gabarito: letra C. A região sombreada é formada por duas partes disjuntas: a parte de B que não está em C, ou seja, $B - C$, e a parte da interseção entre A e C que não está em B, ou seja, $(A \cap C) - B$. A união dessas duas partes é exatamente a expressão da alternativa C: $(B-C)\cup[(A\cap C)-B]$.

Para resolver essa questão, precisamos dominar as operações básicas entre conjuntos e saber interpretar um diagrama de Venn. A união ($\cup$) reúne todos os elementos de dois ou mais conjuntos. A interseção ($\cap$) seleciona apenas os elementos que pertencem simultaneamente a todos os conjuntos envolvidos. A diferença ($-$) entre dois conjuntos, digamos $X - Y$, é o conjunto formado pelos elementos que estão em $X$, mas não estão em $Y$.

A estratégia para resolver é decompor a região sombreada em partes menores e disjuntas, ou seja, que não se sobrepõem. Cada uma dessas partes pode ser descrita por uma operação simples entre os conjuntos A, B e C. Depois, unimos todas as partes com o operador de união ($\cup$).

Vamos analisar a figura: a região sombreada é composta por duas áreas separadas. A primeira área é a parte do conjunto B que não pertence ao conjunto C. Isso é a diferença $B - C$. A segunda área é a parte que pertence simultaneamente a A e a C, mas que não pertence a B. Isso é a interseção $A \cap C$ subtraída de B, ou seja, $(A \cap C) - B$. Como essas duas áreas não têm elementos em comum (são disjuntas), a região sombreada total é a união delas: $(B-C) \cup [(A\cap C)-B]$.

A pegadinha dessa questão está em não conseguir visualizar que a região sombreada é composta por duas partes separadas. Muitos candidatos tentam descrever a região com uma única operação, o que leva a erros. A chave é sempre decompor a região em pedaços menores e depois uni-los.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $B \cup (A \cap C)$ representa a união de todo o conjunto B com a interseção de A e C. Isso incluiria todo o conjunto B, inclusive a parte que está dentro de C, que não está sombreada na figura. Portanto, essa alternativa descreve uma região maior do que a sombreada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $B - (A \cap C)$ representa os elementos de B que não estão na interseção de A e C. Isso incluiria a parte de B que está fora de C (correta), mas excluiria a parte de $A \cap C$ que está fora de B (que é a segunda parte da região sombreada). Além disso, incluiria a parte de B que está em A, mas não em C, que não está sombreada. Portanto, essa alternativa descreve uma região diferente da sombreada.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $(B-C)\cup[(A\cap C)-B]$ decompõe a região sombreada em duas partes disjuntas: a parte de B que não está em C ($B-C$) e a parte da interseção de A e C que não está em B ($(A\cap C)-B$). A união dessas duas partes corresponde exatamente à região sombreada no diagrama.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $(B - C) \cup (A \cap C)$ representa a união da parte de B fora de C com toda a interseção de A e C. Isso incluiria a parte de $A \cap C$ que também está em B, que não está sombreada na figura. Portanto, essa alternativa descreve uma região maior do que a sombreada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $(A \cup B \cup C) - (A \cap B \cap C)$ representa todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos, mas que não estão na interseção tripla. Isso incluiria, por exemplo, a parte de A que está fora de B e C, que não está sombreada. Portanto, essa alternativa descreve uma região muito maior do que a sombreada.

Gabarito: letra C