Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402708

Centro de massa de um sólido com densidade variável

Gabarito: letra E — o centro de massa do poste está em $(0,0,\frac{3}{10}a)$ . Isso porque, por simetria, as coordenadas $x$ e $y$ do centro de massa são nulas, e o cálculo da coordenada $z$ envolve a razão entre o momento de massa em relação ao plano $xy$ e a massa total, resultando em $\frac{3}{10}a$ .

O problema pede o centro de massa de um sólido com densidade não uniforme. O centro de massa é o ponto que concentraria toda a massa do corpo se ela fosse puntiforme, e sua posição é a média ponderada das posições de cada elemento de massa, ponderada pela própria massa. Para um sólido contínuo, isso se traduz nas integrais triplas:

\bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_V x\,\delta\,dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M}\iiint_V y\,\delta\,dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M}\iiint_V z\,\delta\,dV

onde $M = \iiint_V \delta\,dV$ é a massa total. A densidade $\delta(x,y,z) = 2a - z$ varia linearmente com a altura: na base ( $z=0$ ) vale $2a$ , e no topo ( $z=a$ ) vale $a$ . Ou seja, o poste é mais denso embaixo do que em cima.

A superfície do poste é dada por $z = a - \frac{a}{\rho^2}(x^2+y^2)$ , que é um paraboloide de revolução com vértice em $(0,0,a)$ e base circular de raio $\rho$ no plano $z=0$ . Por ser um sólido de revolução em torno do eixo $z$ , e como a densidade depende apenas de $z$ (não de $x$ ou $y$ ), há simetria cilíndrica: o centro de massa deve estar sobre o eixo $z$ , ou seja, $\bar{x} = \bar{y} = 0$ . Isso já elimina qualquer alternativa que não tenha as duas primeiras coordenadas nulas — todas têm, então a análise se concentra em $\bar{z}$ .

Para calcular $\bar{z}$ , o caminho mais eficiente é usar coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$ , onde $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ e o elemento de volume é $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$ . A equação do paraboloide fica $z = a - \frac{a}{\rho^2}r^2$ , o que permite isolar o raio em função da altura: $r = \rho\sqrt{1 - \frac{z}{a}}$ . Assim, para uma altura $z$ fixa, o raio da seção transversal é $\rho\sqrt{1 - \frac{z}{a}}$ , e a área dessa seção é $\pi \rho^2 (1 - \frac{z}{a})$ .

A massa total pode ser calculada integrando a densidade sobre o volume. Usando a técnica de "cascas" (ou discos), integramos em $z$ de $0$ a $a$ , multiplicando a densidade pela área da seção:

M = \int_0^a \delta(z) \cdot A(z)\,dz = \int_0^a (2a - z) \cdot \pi\rho^2\left(1 - \frac{z}{a}\right) dz

Expandindo o integrando: $(2a - z)(1 - \frac{z}{a}) = 2a - 2z - z + \frac{z^2}{a} = 2a - 3z + \frac{z^2}{a}$ . Integrando de $0$ a $a$ :

M = \pi\rho^2 \left[ 2az - \frac{3z^2}{2} + \frac{z^3}{3a} \right]_0^a = \pi\rho^2 \left( 2a^2 - \frac{3a^2}{2} + \frac{a^2}{3} \right) = \pi\rho^2 \left( \frac{12a^2 - 9a^2 + 2a^2}{6} \right) = \pi\rho^2 \cdot \frac{5a^2}{6}

O momento de massa em relação ao plano $xy$ é:

M_{xy} = \int_0^a z \cdot \delta(z) \cdot A(z)\,dz = \int_0^a z(2a - z) \cdot \pi\rho^2\left(1 - \frac{z}{a}\right) dz

O integrando é $z(2a - z)(1 - \frac{z}{a}) = z(2a - 3z + \frac{z^2}{a}) = 2az - 3z^2 + \frac{z^3}{a}$ . Integrando:

M_{xy} = \pi\rho^2 \left[ az^2 - z^3 + \frac{z^4}{4a} \right]_0^a = \pi\rho^2 \left( a^3 - a^3 + \frac{a^3}{4} \right) = \pi\rho^2 \cdot \frac{a^3}{4}

Finalmente, a coordenada $z$ do centro de massa é:

\bar{z} = \frac{M_{xy}}{M} = \frac{\pi\rho^2 \cdot \frac{a^3}{4}}{\pi\rho^2 \cdot \frac{5a^2}{6}} = \frac{a^3}{4} \cdot \frac{6}{5a^2} = \frac{6a}{20} = \frac{3a}{10}

Portanto, $c_m = (0,0,\frac{3}{10}a)$ , que corresponde à alternativa E.

A pegadinha central desta questão é que a densidade não é constante. Se o candidato assumisse densidade uniforme, o centro de massa de um paraboloide sólido (sólido de revolução) estaria a $\frac{2}{3}a$ da base (ou $\frac{1}{3}a$ do topo), o que não corresponde a nenhuma alternativa. A densidade $\delta = 2a - z$ "puxa" o centro de massa para baixo, pois há mais massa na região inferior. O valor $\frac{3}{10}a$ reflete exatamente esse deslocamento: é menor que $\frac{1}{3}a$ (que seria o caso de densidade constante), indicando que o centro de massa está mais próximo da base.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{2}a^2$ como coordenada $z$ . Esse valor tem dimensão de comprimento ao quadrado, não de comprimento — um erro dimensional grosseiro. Além disso, não corresponde a nenhum cálculo intermediário relevante do problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{4}\pi a^3 \rho^2$ . Esse valor tem dimensão de massa vezes comprimento ao quadrado (ou algo similar), não de comprimento. Na verdade, $\frac{1}{4}\pi a^3 \rho^2$ é exatamente o momento de massa $M_{xy}$ calculado acima — o numerador da fração, não o resultado final. O candidato que esqueceu de dividir pelo momento de massa total $M$ cairia nessa alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{2}\pi a \rho^2$ . Esse valor tem dimensão de volume (comprimento ao cubo), não de comprimento. Não corresponde a nenhuma grandeza relevante do problema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{5}{3}a$ . Esse valor é maior que a altura total $a$ do poste, o que é fisicamente impossível para o centro de massa de um corpo — o centro de massa deve estar dentro do corpo. Além disso, $\frac{5}{3}a$ não tem relação com os cálculos.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\frac{3}{10}a$ , que é exatamente o resultado obtido pela razão entre o momento de massa $M_{xy} = \frac{1}{4}\pi a^3 \rho^2$ e a massa total $M = \frac{5}{6}\pi a^2 \rho^2$ . O valor é menor que $\frac{1}{3}a$ (centro de massa de um paraboloide de densidade constante), coerente com o fato de a densidade ser maior na base ( $\delta = 2a$ em $z=0$ ) do que no topo ( $\delta = a$ em $z=a$ ).

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora duas armadilhas clássicas: (1) esquecer que a densidade é variável e usar o centro de massa de um sólido homogêneo; (2) confundir o momento de massa (numerador) com o resultado final. A alternativa B contém exatamente o valor do momento $M_{xy}$ , e a alternativa D contém um valor maior que a altura — impossível fisicamente. Ao calcular, sempre divida o momento pela massa total e confira se o resultado está dentro do corpo.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de centro de massa com simetria cilíndrica, use coordenadas cilíndricas e integre por "cascas" (ou discos): $M = \int \delta(z) A(z) dz$ e $M_{xy} = \int z\,\delta(z) A(z) dz$ . A razão $M_{xy}/M$ dá a coordenada $z$ do centro de massa. Sempre verifique a dimensão do resultado (deve ser comprimento) e se ele está dentro do corpo.

Gabarito: letra E