Questão de Matemática — Álgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais) — CESPE / CEBRASPE 2024

Autovalores e autovetores: direções principais de uma deformação

Gabarito: letra A. A transformação linear $T(x,y) = (5x+4y,\,5y+x)$ tem matriz canônica $A = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$; as direções principais são os autovetores e os fatores de extensão/contração são os autovalores. Resolvendo o polinômio característico $\det(A - \lambda I) = 0$, obtêm-se $\lambda_1 = 3$ e $\lambda_2 = 7$, com autovetores associados $(-2,1)$ e $(2,1)$, respectivamente — exatamente o que a alternativa A apresenta.

O problema pede que você encontre as direções principais de uma deformação e os fatores de contração/extensão associados. Em termos de álgebra linear, isso é o mesmo que encontrar os autovetores e autovalores da matriz que representa a transformação. A transformação $T(x,y) = (5x+4y,\,5y+x)$ é linear, e sua matriz canônica (na base padrão) é obtida colocando nas colunas as imagens dos vetores da base: $T(1,0) = (5,1)$ e $T(0,1) = (4,5)$, logo $A = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$.

Um autovetor de $A$ é um vetor não nulo $v$ tal que $Av = \lambda v$, onde $\lambda$ é o autovalor correspondente. Geometricamente, a transformação, ao ser aplicada a um autovetor, apenas o estica ou encolhe (ou inverte o sentido, se $\lambda < 0$), sem mudar sua direção. Por isso, os autovetores indicam as direções principais da deformação, e os autovalores indicam os fatores pelos quais os comprimentos nessas direções são multiplicados: se $|\lambda| > 1$, há extensão; se $0 < |\lambda| < 1$, há contração; se $\lambda < 0$, há também inversão de sentido.

Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico:

Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = 3$ e $\lambda_2 = 7$. Para cada autovalor, encontramos o autovetor resolvendo $(A - \lambda I)v = 0$:

• Para $\lambda_1 = 3$: $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, o que dá $x + 2y = 0$, ou seja, $x = -2y$. Um autovetor é $(-2, 1)$.

• Para $\lambda_2 = 7$: $\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, o que dá $-x + 2y = 0$, ou seja, $x = 2y$. Um autovetor é $(2, 1)$.

A pegadinha clássica neste tipo de questão é trocar os autovetores entre os autovalores (associar $\lambda_1$ ao autovetor de $\lambda_2$) ou usar autovetores que não são soluções do sistema. A alternativa A é a única que associa corretamente cada autovalor ao seu autovetor. Note que os autovetores podem ser multiplicados por qualquer escalar não nulo — por exemplo, $(-2,1)$ é o mesmo que $(-1, 1/2)$ — mas a alternativa B usa $(-1/2, 1)$, que não é múltiplo de $(-2,1)$ (a razão entre as coordenadas é diferente), então está incorreta.

Guarde o passo a passo: montar a matriz da transformação → calcular o polinômio característico → encontrar os autovalores → resolver o sistema homogêneo para cada autovalor. É exatamente esse fluxo que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta os autovalores $\lambda_1 = 3$ e $\lambda_2 = 7$ com os autovetores $(-2,1)$ e $(2,1)$, respectivamente. Confere com o cálculo: para $\lambda = 3$, o sistema $(A - 3I)v = 0$ tem solução $x = -2y$, logo $(-2,1)$ é autovetor; para $\lambda = 7$, o sistema $(A - 7I)v = 0$ tem solução $x = 2y$, logo $(2,1)$ é autovetor. Os fatores $\lambda_1 = 3$ e $\lambda_2 = 7$ são ambos maiores que 1, indicando extensão nas duas direções principais.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os autovalores estão corretos ($\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = 7$), mas os autovetores $(-1/2, 1)$ e $(1/2, 1)$ não são múltiplos escalares dos autovetores corretos $(-2,1)$ e $(2,1)$. Para ser autovetor, o vetor deve satisfazer $Av = \lambda v$; testando $(-1/2, 1)$ com $\lambda = 3$: $A(-1/2, 1) = (5(-1/2)+4(1),\,1(-1/2)+5(1)) = (3/2,\,9/2)$, que não é $3 \cdot (-1/2, 1) = (-3/2, 3)$. Portanto, não é autovetor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta autovalores negativos ($\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = -7$), o que está errado: o polinômio característico é $(\lambda-3)(\lambda-7)$, com raízes positivas 3 e 7. Além disso, os autovetores $(1,-2)$ e $(1,-3)$ não satisfazem os sistemas corretos. A banca aqui tenta confundir com a possibilidade de autovalores negativos (que indicariam inversão de sentido), mas isso não ocorre nesta transformação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Os autovalores $3 \pm 2\sqrt{6}$ não são raízes do polinômio característico $(\lambda-3)(\lambda-7)$. Eles seriam obtidos se o polinômio fosse $\lambda^2 - 6\lambda - 15$, o que não é o caso. Os autovetores correspondentes também não resolvem os sistemas. Essa alternativa parece ter sido construída com uma fatoração incorreta do determinante.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Assim como a C, apresenta autovalores negativos ($\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = -7$), que não são as raízes do polinômio característico. Os autovetores $(1,-8)$ e $(1,-12)$ também não satisfazem as equações $(A - \lambda I)v = 0$ para nenhum autovalor real. É um distrator que mistura sinais trocados e vetores aleatórios.

A regra de ouro para questões de direções principais: os autovalores são as raízes do polinômio característico $\det(A - \lambda I) = 0$, e cada autovetor é uma solução não nula de $(A - \lambda I)v = 0$. Confira sempre se o autovetor apresentado realmente satisfaz a equação $Av = \lambda v$ — esse teste rápido elimina a maioria dos distratores.

Gabarito: letra A