Conjuntos: diferença entre primos ímpares e ímpares
Gabarito: letra D. Como todo número primo ímpar é, por definição, um número ímpar, o conjunto P está inteiramente contido no conjunto I. A diferença P − I remove de P todos os elementos que também pertencem a I, ou seja, remove todos os elementos de P, restando o conjunto vazio.
A operação de diferença entre conjuntos, denotada por A − B, é definida como o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. Em outras palavras, A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}. Para resolver a questão, precisamos identificar exatamente quais elementos compõem cada conjunto e, em seguida, aplicar essa definição.
O conjunto P é formado pelos números primos ímpares. Um número primo é um número natural maior que 1 que possui exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Os primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... O número 2 é o único primo par; todos os demais primos são ímpares. Portanto, P = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}.
O conjunto I é formado pelos números naturais ímpares. Números naturais são os inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, ...), e ímpares são aqueles que não são divisíveis por 2. Assim, I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...}.
Agora, observe a relação entre P e I: todo elemento de P (por exemplo, 3, 5, 7, 11, ...) também é um elemento de I, pois todo primo ímpar é, obviamente, um número ímpar. Isso significa que P é um subconjunto de I, ou seja, P ⊂ I. Quando calculamos P − I, estamos retirando de P todos os elementos que estão em I. Como todos os elementos de P estão em I, a diferença resulta em um conjunto sem nenhum elemento, ou seja, o conjunto vazio (∅).
A pegadinha desta questão está em não perceber que P está contido em I. Muitos candidatos podem pensar que P − I resultaria nos números primos que não são ímpares, mas isso seria um erro, pois a definição de P já exclui o número 2 (que é o único primo par). Outros podem confundir a operação de diferença com a de interseção ou união. A chave é lembrar que, se um conjunto está contido em outro, a diferença entre eles é sempre o conjunto vazio.
Para fixar: a diferença entre dois conjuntos A e B resulta no conjunto vazio sempre que A ⊆ B. Nesta questão, como P ⊆ I, temos P − I = ∅.
Caso | Relação entre P e I | P − I | Resultado |
|---|
1 | P ⊆ I (todo primo ímpar é ímpar) | ∅ | Conjunto vazio |
2 | P ⊄ I (hipótese falsa, pois 2 não está em P) | Inviável | Contradição |
3 | P − I = I − P (inversão da operação) | I − P | Ímpares não primos |
Alternativa A — ❌ Incorreta
O conjunto dos números pares não é o resultado de P − I. Os números pares são divisíveis por 2, enquanto P é formado apenas por números ímpares (primos ímpares). A diferença P − I não pode gerar números pares, pois P não contém nenhum número par. O erro aqui é confundir a operação de diferença com outra operação, como o complemento em relação aos naturais, ou simplesmente não aplicar a definição corretamente.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O conjunto dos números primos pares contém apenas o número 2, que é o único primo par. No entanto, P é definido como o conjunto dos primos ímpares, portanto o número 2 não pertence a P. A diferença P − I não pode conter o número 2, pois ele não está em P. Esta alternativa confunde a definição de P, incluindo um elemento que foi explicitamente excluído.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O conjunto dos ímpares não primos é o complemento de P em relação a I, ou seja, I − P. A operação P − I é diferente: ela remove de P os elementos que estão em I. Como todos os elementos de P estão em I, o resultado é vazio, não o conjunto dos ímpares não primos. Esta alternativa inverte a ordem da diferença, trocando P − I por I − P.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como todo número primo ímpar é um número ímpar, o conjunto P está contido no conjunto I (P ⊂ I). A diferença P − I remove de P todos os elementos que também pertencem a I, ou seja, remove todos os elementos de P. Portanto, P − I = ∅, o conjunto vazio. Esta é a resposta correta.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O conjunto dos números ímpares primos é exatamente o conjunto P. A operação P − I não resulta em P, pois P está contido em I. Se P − I resultasse em P, isso significaria que nenhum elemento de P está em I, o que é falso. Esta alternativa confunde a diferença com a interseção ou simplesmente não considera que P ⊆ I.
Gabarito: letra D — P − I = ∅, pois todo primo ímpar é ímpar, logo P ⊆ I.