Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — CESPE / CEBRASPE 2024

Comparação de frações: ordenando números racionais

Gabarito: letra C. A ordem correta é B < A < C, ou seja, $\frac{432}{231} < \frac{335}{179} < \frac{367}{196}$. Para comparar frações com denominadores diferentes, o método mais direto é encontrar um denominador comum (o MMC) e comparar os numeradores resultantes — ou, de forma mais rápida, converter cada fração para decimal e comparar os valores.

A questão cobra a habilidade de comparar números racionais — um conceito fundamental da aritmética. Quando temos frações com denominadores diferentes, não podemos compará-las diretamente apenas olhando os numeradores. A estratégia clássica é transformá-las em frações equivalentes com o mesmo denominador (o MMC dos denominadores originais) e, então, comparar os numeradores. Outra abordagem, muitas vezes mais rápida em provas, é converter cada fração em número decimal e comparar os valores obtidos.

Vamos aplicar o método do MMC. Os denominadores são 179, 231 e 196. Calculando o MMC:

• 179 é um número primo.

• 231 = 3 × 7 × 11.

• 196 = 2² × 7².

O MMC = 179 × 3 × 7 × 11 × 2² × 7 = 179 × 3 × 11 × 4 × 49 = 179 × 3 × 11 × 196 = 179 × 6468 = 1.157.772.

Agora, convertemos cada fração para o denominador comum:

• $A = \frac{335}{179} = \frac{335 \times 6468}{179 \times 6468} = \frac{2.166.780}{1.157.772}$

• $B = \frac{432}{231} = \frac{432 \times 5012}{231 \times 5012} = \frac{2.165.184}{1.157.772}$ (pois 1.157.772 ÷ 231 = 5.012)

• $C = \frac{367}{196} = \frac{367 \times 5907}{196 \times 5907} = \frac{2.167.869}{1.157.772}$ (pois 1.157.772 ÷ 196 = 5.907)

Agora, com o mesmo denominador, comparamos os numeradores: 2.165.184 < 2.166.780 < 2.167.869. Portanto, $B < A < C$.

Uma forma mais rápida e prática para a prova é converter cada fração em decimal:

• $A = \frac{335}{179} \approx 1,8715$

• $B = \frac{432}{231} \approx 1,8701$

• $C = \frac{367}{196} \approx 1,8724$

Comparando os decimais: 1,8701 < 1,8715 < 1,8724, o que confirma $B < A < C$.

A pegadinha desta questão é que os três números são muito próximos entre si (todos em torno de 1,87). O candidato que tenta comparar apenas os numeradores ou os denominadores isoladamente erra. É preciso usar um método de comparação rigoroso, como o MMC ou a conversão para decimal com precisão suficiente.

Guarde o critério decisivo: para ordenar frações, nunca compare numeradores ou denominadores isoladamente — use o denominador comum ou a forma decimal. É exatamente nesse ponto que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $A < C < B$. Isso implicaria $\frac{335}{179} < \frac{367}{196} < \frac{432}{231}$. Pela nossa comparação, $B$ é o menor dos três, não o maior. O erro está em colocar $B$ como o maior valor, quando na verdade é o menor.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $B < C < A$. Isso implicaria $\frac{432}{231} < \frac{367}{196} < \frac{335}{179}$. Aqui, $C$ é colocado no meio, mas na verdade $C$ é o maior dos três. O erro está em não identificar $C$ como o maior valor.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $B < A < C$, ou seja, $\frac{432}{231} < \frac{335}{179} < \frac{367}{196}$. Esta é a ordem correta, confirmada tanto pelo método do MMC quanto pela conversão para decimal. $B$ é o menor, $A$ é o intermediário e $C$ é o maior.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $C < B < A$. Isso implicaria $\frac{367}{196} < \frac{432}{231} < \frac{335}{179}$. Aqui, $C$ é colocado como o menor, mas na verdade é o maior. O erro está em inverter completamente a ordem.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $C < A < B$. Isso implicaria $\frac{367}{196} < \frac{335}{179} < \frac{432}{231}$. Aqui, $C$ é colocado como o menor e $B$ como o maior, mas na verdade é o oposto: $C$ é o maior e $B$ é o menor. O erro está em inverter a ordem de $B$ e $C$.

Gabarito: letra C