Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — CESPE / CEBRASPE 2024

Função exponencial aplicada ao resfriamento de um corpo

Gabarito: letra B. O horário em que a temperatura do corpo era de 34,5 ºC foi 11 h 30 min. Isso porque, aplicando os dados na função exponencial dada, encontramos que o tempo decorrido desde a medição inicial (12 h 30 min) até o momento em que o corpo estava a 34,5 ºC foi de 1 hora, ou seja, 11 h 30 min. A resolução envolve montar a equação com os valores fornecidos, determinar a constante k e, em seguida, calcular o tempo t para a temperatura desejada.

A questão trata de um modelo de resfriamento exponencial, muito comum em problemas de física e matemática aplicada. A função dada é $T(t) = T_A + (T_I - T_A) \left(\frac{4}{5}\right)^{kt}$, onde $T_A$ é a temperatura ambiente, $T_I$ é a temperatura inicial medida, $k$ é uma constante positiva e $t$ é o tempo em horas. O corpo esfria exponencialmente, aproximando-se da temperatura ambiente sem nunca alcançá-la exatamente.

Primeiro, vamos determinar a constante $k$ usando os dados fornecidos. O perito chegou às 12 h 30 min e mediu $T_I = 32$ ºC. Uma hora depois, às 13 h 30 min, a temperatura era de 30 ºC. A temperatura ambiente é $T_A = 22$ ºC. Substituindo na função:

Para $t = 0$ (momento da primeira medição): $T(0) = 22 + (32 - 22) \left(\frac{4}{5}\right)^{k \cdot 0} = 22 + 10 \cdot 1 = 32$ ºC. Confere.

Para $t = 1$ (uma hora depois): $T(1) = 22 + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{k} = 30$ ºC. Então:

$10 \left(\frac{4}{5}\right)^{k} = 8 \Rightarrow \left(\frac{4}{5}\right)^{k} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais: $k = 1$.

Agora, queremos encontrar o tempo $t$ para o qual $T(t) = 34,5$ ºC. Substituindo na função com $k = 1$:

$34,5 = 22 + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{t}$

$10 \left(\frac{4}{5}\right)^{t} = 12,5$

$\left(\frac{4}{5}\right)^{t} = 1,25$

Note que $1,25 = \frac{5}{4} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$. Portanto:

$\left(\frac{4}{5}\right)^{t} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-1}$

$t = -1$.

O tempo $t = -1$ hora significa que a temperatura de 34,5 ºC ocorreu 1 hora antes da medição inicial. Como a medição inicial foi às 12 h 30 min, o horário procurado é 12 h 30 min − 1 h = 11 h 30 min.

Alternativa A — ❌ Incorreta

11 h 15 min — Este horário corresponderia a um tempo de $t = -1,25$ horas (1 hora e 15 minutos antes das 12 h 30 min). Substituindo na função, teríamos $T(-1,25) = 22 + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{-1,25} \approx 22 + 10 \times 1,25^{1,25} \approx 22 + 13,2 = 35,2$ ºC, que não é 34,5 ºC. O erro está em considerar um intervalo de tempo diferente do que a equação exige.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

11 h 30 min — Como demonstrado, o tempo necessário para a temperatura atingir 34,5 ºC é $t = -1$ hora, ou seja, 1 hora antes da medição inicial. Portanto, 12 h 30 min − 1 h = 11 h 30 min. A alternativa está correta porque reflete exatamente o resultado da equação exponencial.

Alternativa C — ❌ Incorreta

11 h 45 min — Este horário corresponderia a $t = -0,75$ horas (45 minutos antes). Substituindo: $T(-0,75) = 22 + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{-0,75} \approx 22 + 10 \times 1,25^{0,75} \approx 22 + 11,8 = 33,8$ ºC, que não é 34,5 ºC. O erro está em não calcular corretamente o tempo necessário.

Alternativa D — ❌ Incorreta

12 h 00 min — Este horário corresponderia a $t = -0,5$ horas (30 minutos antes). Substituindo: $T(-0,5) = 22 + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{-0,5} \approx 22 + 10 \times 1,25^{0,5} \approx 22 + 11,18 = 33,18$ ºC, que não é 34,5 ºC. O erro está em considerar um intervalo de tempo menor do que o necessário.

Alternativa E — ❌ Incorreta

12 h 15 min — Este horário corresponderia a $t = -0,25$ horas (15 minutos antes). Substituindo: $T(-0,25) = 22 + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{-0,25} \approx 22 + 10 \times 1,25^{0,25} \approx 22 + 10,57 = 32,57$ ºC, que não é 34,5 ºC. O erro está em considerar um intervalo de tempo ainda menor.

Gabarito: letra B