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Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
ce402721
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Pref Camaçari
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
No sistema de coordenadas ortogonais xOy, com unidade de comprimento em metros, uma circunferência tem centro no ponto C = (2, 1) e passa pelo ponto P = (1, 1). Nesse caso, utilizando π\pi = 3,14, o círculo limitado por essa circunferência tem área igual a
  1. A3,14 m2.
  2. B7,32 m2.
  3. C4,18 m2.
  4. D5,25 m2.
  5. E6,28 m2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 3,14 m2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 3,14 m² — alternativa A.

A ideia por trás

A circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo, o centro. Essa distância é o raio, e o círculo é a região interna a ela. A área do círculo mede quantos metros quadrados cabem dentro dessa região, e depende apenas do raio.

A área do círculo é dada por A = πr², onde r é o raio. Ela cresce com o QUADRADO do raio: dobrar o raio QUADRUPLICA a área. Por isso, um pequeno erro no raio vira um erro muito maior na área. A fórmula vale para qualquer círculo, independentemente da posição no plano.

Esta questão cobra exatamente a ligação entre a geometria analítica e a plana: primeiro descobrir o raio como a distância entre o centro e um ponto da circunferência, depois aplicar a fórmula da área. O ponto-chave é perceber que os dois pontos têm a mesma coordenada y, o que simplifica a distância.

O que a questão dá

  • centro da circunferência: C = (2, 1)

  • ponto da circunferência: P = (1, 1)

  • π = 3,14

O que queremos: a área do círculo limitado por essa circunferência

Passo 1 — Calcular o raio da circunferência

O raio é a distância do centro até qualquer ponto da circunferência. Como o ponto P pertence à circunferência, a distância entre C e P é exatamente o raio. Precisamos dele antes de calcular a área.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada por d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]. Mas aqui os dois pontos têm y = 1, então a diferença em y é zero, e a distância é só a diferença em x.

r=∣xP−xC∣r = |x_P - x_C|

De onde vem cada valor: xPx_P = enunciado: P = (1, 1) · xCx_C = enunciado: C = (2, 1)

r=∣1−2∣=1 mr = |1 - 2| = \boxed{1\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a fórmula completa da distância com y diferente, ou confundir a ordem das coordenadas — aqui a diferença em y é zero, então a conta é só 1.

Passo 2 — Aplicar a fórmula da área do círculo

Com o raio em mãos, a área é direta. A fórmula da área é a relação que liga o raio à região interna da circunferência.

Por que esta fórmula: A área do círculo é A = πr². É a fórmula padrão, e não a do comprimento (C = 2πr), que daria um valor diferente.

A=πr2A = \pi r^{2}

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3,14 · rr = passo 1: 1 m

A=3,14×12=3,14 m2A = 3{,}14 \times 1^{2} = \boxed{3{,}14\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o diâmetro no lugar do raio (daria 12,56) ou a fórmula do comprimento (daria 6,28, que é a alternativa E).

Resposta: 3,14 m² — alternativa A

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